Квадрат разбили на квадраты поменьше нескольких размеров, часть из них закрасили чёрным. Площадь белой части квадрата равна 180. Найдите площадь чёрной части квадрата.

Привет! Давай разберёмся с этой задачей по геометрии. Представь, что у нас есть большой квадрат, который разделили на маленькие квадратики, и некоторые из них покрашены в чёрный цвет. Нам известно, что общая площадь всех белых квадратиков равна 180. Наша задача — найти площадь всех чёрных квадратиков.

Давай посмотрим на рисунок. Мы видим, что квадраты разных размеров чередуются. Если внимательно присмотреться, то можно заметить закономерность:

• Самый большой квадрат разделён на 4 квадрата поменьше.
• Каждый из этих квадратов, в свою очередь, разделён на 4 ещё меньших квадрата, и так далее.

Важно заметить, что в каждом таком делении 1/4 площади становится чёрной, а 3/4 — белой. Или, если говорить о площадях: если большой квадрат разделить на 4 равных, то 1 квадрат будет чёрным, а 3 — белыми. Если мы продолжим это деление, то на каждом этапе соотношение белых и чёрных частей сохраняется.

Давай предположим, что площадь всего большого квадрата равна S. Тогда:

• На первом этапе, когда квадрат делится на 4 части, 3 части белые, 1 — чёрная. Площадь белой части = 3/4 S, площадь чёрной = 1/4 S.
• Если мы продолжим деление, то каждый из белых квадратов будет снова делиться, и соотношение сохранится.

Обрати внимание на рисунок: каждый квадрат, который является белым, в свою очередь, состоит из белых и чёрных частей. И если посмотреть на всю картину целиком, то каждый большой квадрат, разделенный на 4 меньших, имеет 3 белых части и 1 чёрную. Это значит, что белых частей всегда больше, чем чёрных.

На самом деле, если посчитать, то на картинке соотношение белых и чёрных квадратов таково:

• Есть 1 самый большой чёрный квадрат.
• Затем идут 3 белых квадрата.
• В каждом из этих белых квадратов есть 3 белых и 1 чёрный.
• И так далее.

Давайте посмотрим на структуру квадратов:

• Внешний квадрат разделён на 4 части.
• Если одна часть чёрная, то три части белые.
• Внутри каждого белого квадрата идёт такое же деление.

Замечаем закономерность:

• Каждый квадрат, который является белым, сам состоит из 3 белых и 1 чёрного квадрата (если его разбить на 4 части).
• Это означает, что отношение площади белой части к площади чёрной всегда будет 3:1, если рассматривать весь квадрат целиком.

Следовательно, площадь белой части в 3 раза больше площади чёрной части.

Нам дано, что площадь белой части равна 180.

Если Площадь белой части = 3 * Площадь чёрной части, то:

180 = 3 * Площадь чёрной части

Чтобы найти площадь чёрной части, нужно 180 разделить на 3:

\[ \text{Площадь чёрной части} = \frac{180}{3} = 60 \]

Ответ: Площадь чёрной части квадрата равна 60.