5. Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата. Следовательно, радиус окружности $$r = \frac{8}{2} = 4$$ см. Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, является диаметром этой окружности. Тогда гипотенуза треугольника равна $$2r = 2 * 4 = 8$$ см. Пусть $$a$$ и $$b$$ - катеты треугольника, а $$c$$ - гипотенуза. Тогда $$c = 8$$ см. По условию, один из острых углов равен $$30^\circ$$. Тогда катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы: $$a = \frac{1}{2} * c = \frac{1}{2} * 8 = 4$$ см. Другой катет можно найти по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ см. Площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2} * a * b = \frac{1}{2} * 4 * 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь треугольника равна $$8\sqrt{3}$$ см$$^2$$.