Квадрат в треугольнике. Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие — на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна 24.

Обозначим сторону квадрата через \(x\). У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны: \(24/\sqrt{2}=12\sqrt{2}\).

Расположим катеты на координатных осях, а вершину прямого угла — в начале координат. Тогда гипотенуза задаётся уравнением \(X+Y=12\sqrt{2}\).

Сторона квадрата на гипотенузе имеет длину \(x\). При переходе к противоположной стороне квадрата каждая координата уменьшается на \(x/\sqrt{2}\), поскольку перпендикуляр к гипотенузе направлен под углом 45° к осям. Чтобы противоположные вершины лежали на катетах, концы стороны квадрата на гипотенузе должны иметь координаты \((x/\sqrt{2},\,12\sqrt{2}-x/\sqrt{2})\) и \((12\sqrt{2}-x/\sqrt{2},\,x/\sqrt{2})\).

Расстояние между этими вершинами равно стороне квадрата:

\[\sqrt{2}\left(12\sqrt{2}-\frac{2x}{\sqrt{2}}\right)=x.\]

Отсюда \(24-2x=x\), поэтому \(3x=24\) и \(x=8\).

Ответ: 8.