Квадратичная функция_5ee290a...

Разбираемся с квадратичными функциями!

Давай вместе разберем задания. Я помогу тебе понять, как их решать.

1232. Значение m

Чтобы определить значение m, нужно вспомнить, как ведут себя параболы. Они симметричны относительно вершины.

• а) Функция убывает на (-∞; 6] и возрастает на [6; +∞). Это значит, что вершина параболы находится в точке x = 6. У нашей функции y = 0,5(x - m)² вершина находится при x = m. Значит, m = 6.


• б) Функция убывает на (-∞; -4] и возрастает на [-4; +∞). Здесь вершина параболы находится в точке x = -4. Значит, m = -4.

Ответ: а) m = 6; б) m = -4

1233. График функции y = (x - 3)² + 2

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она симметрична относительно оси y.

• Вершина параболы: Уравнение имеет вид y = a(x - h)² + k, где (h; k) — координаты вершины. В нашем случае h = 3 и k = 2. Вершина находится в точке (3; 2).


• Ось симметрии: Это вертикальная прямая, проходящая через вершину. Уравнение оси симметрии: x = 3.

Ответ: Вершина (3; 2), ось симметрии x = 3.

1234. Сдвиг графика функции y = 0,5x²

Сдвиг вправо на 4 единицы означает, что вместо x² мы пишем (x - 4)². Сдвиг вверх на 2 единицы означает, что мы добавляем 2 к значению функции.

• Исходная функция: y = 0,5x²


• Сдвиг вправо на 4: y = 0,5(x - 4)²


• Сдвиг вверх на 2: y = 0,5(x - 4)² + 2

Ответ: y = 0,5(x - 4)² + 2

1235. Значение a, если график проходит через точку

Чтобы найти a, подставим координаты точки в уравнение функции y = ax² - 5.

• а) Точка А(3; 11):


• 11 = a * 3² - 5


• 11 = 9a - 5


• 16 = 9a


• a = 16/9


• б) Точка B(-4; -13):


• -13 = a * (-4)² - 5


• -13 = 16a - 5


• -8 = 16a


• a = -8/16 = -1/2


• в) Точка С(6; 2,2):


• 2,2 = a * 6² - 5


• 2,2 = 36a - 5


• 7,2 = 36a


• a = 7,2 / 36 = 72 / 360 = 1/5

Ответ: а) a = 16/9; б) a = -1/2; в) a = 1/5

1236. Точки пересечения графиков функций

Чтобы найти точки пересечения, приравниваем уравнения функций.

• а) y = 2x² + 1 и y = 3(x - 2)²:


• 2x² + 1 = 3(x² - 4x + 4)


• 2x² + 1 = 3x² - 12x + 12


• 0 = x² - 12x + 11


• Решаем квадратное уравнение: x = (12 ± √(144 - 4*11)) / 2 = (12 ± √(144 - 44)) / 2 = (12 ± √100) / 2 = (12 ± 10) / 2


• x₁ = (12 + 10) / 2 = 22 / 2 = 11


• x₂ = (12 - 10) / 2 = 2 / 2 = 1


• Найдем соответствующие значения y:


• При x = 11: y = 2*(11)² + 1 = 2*121 + 1 = 242 + 1 = 243


• При x = 1: y = 2*(1)² + 1 = 2*1 + 1 = 3


• б) y = -x² + 4 и y = 7(x - 1)²:


• -x² + 4 = 7(x² - 2x + 1)


• -x² + 4 = 7x² - 14x + 7


• 0 = 8x² - 14x + 3


• Решаем квадратное уравнение: x = (14 ± √(196 - 4*8*3)) / (2*8) = (14 ± √(196 - 96)) / 16 = (14 ± √100) / 16 = (14 ± 10) / 16


• x₁ = (14 + 10) / 16 = 24 / 16 = 3/2


• x₂ = (14 - 10) / 16 = 4 / 16 = 1/4


• Найдем соответствующие значения y:


• При x = 3/2: y = -(3/2)² + 4 = -9/4 + 16/4 = 7/4


• При x = 1/4: y = -(1/4)² + 4 = -1/16 + 64/16 = 63/16

Ответ: а) (11; 243) и (1; 3); б) (3/2; 7/4) и (1/4; 63/16)

1237. Постройте график функции

Для построения графиков функций, содержащих модуль, нужно рассмотреть два случая: когда выражение под модулем положительно и когда отрицательно.

• а) f(x) = |x|: Это график параболы V-образной формы с вершиной в (0; 0).


• б) f(x) = x³ - |x|:




• Если x ≥ 0, то f(x) = x³ - x.


• Если x < 0, то f(x) = x³ - (-x) = x³ + x.




• в) f(x) = x² - |x|:




• Если x ≥ 0, то f(x) = x² - x.


• Если x < 0, то f(x) = x² - (-x) = x² + x.




• г) f(x) = (x⁴ - |x|) / x²:




• Если x ≥ 0, то f(x) = (x⁴ - x) / x² = x² - 1/x (при x ≠ 0).


• Если x < 0, то f(x) = (x⁴ - (-x)) / x² = (x⁴ + x) / x² = x² + 1/x.

Для построения каждого графика нужно нарисовать оси координат, отметить вершину (если есть) и построить соответствующие участки параболы.

1238. Постройте график функции

Это кусочно-заданная функция. Для построения графика нужно построить каждый участок на своей области определения.

• а) y = {x + 2, если x < -2; x² - 4, если -2 ≤ x < 2; -x + 2, если x > 2}:




• При x < -2: прямая y = x + 2. Начинается с точки (-2; 0) и идет вверх влево.


• При -2 ≤ x < 2: парабола y = x² - 4. Вершина в (0; -4), проходит через (-2; 0) и (2; 0).


• При x > 2: прямая y = -x + 2. Начинается с точки (2; 0) и идет вниз вправо.




• б) y = {4, если x < 0; x² - 4, если x ≥ 0}:




• При x < 0: горизонтальная прямая y = 4.


• При x ≥ 0: парабола y = x² - 4. Вершина в (0; -4), проходит через (2; 0).

Для построения нужно аккуратно отметить границы интервалов и рисовать соответствующие графики.

1239. Область определения и график функции g(x)

Чтобы найти область определения, нужно убедиться, что знаменатели не равны нулю.

• Числитель:
  
  
  
  • (x - 1) / (x - 1) = 1 при x ≠ 1
  
  
  • (x + x) / (x + 1) = 2x / (x + 1)
  
  
  • Числитель: 1 + 2x / (x + 1) = (x + 1 + 2x) / (x + 1) = (3x + 1) / (x + 1)
  
  
  
  
• Знаменатель: x² - 1 = (x - 1)(x + 1)


• Дробь: g(x) = ((3x + 1) / (x + 1)) / ((x - 1)(x + 1)) = (3x + 1) / ((x + 1)²(x - 1))

Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть (x + 1)²(x - 1) ≠ 0. Это значит, что x ≠ -1 и x ≠ 1.

График: Построение этого графика довольно сложное и требует анализа асимптот и пересечений с осями. Для точного построения рекомендуется использовать графические калькуляторы.

Ответ: Область определения: x ≠ -1, x ≠ 1

Упражнения для повторения

1240. Выделите квадрат двучлена

Чтобы выделить квадрат двучлена, нужно использовать формулы сокращенного умножения:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²


• (a - b)² = a² - 2ab + b²

• а) x² - 6x + 14:


• x² - 6x + 9 + 5 = (x - 3)² + 5


• б) x² + 8x - 2:


• x² + 8x + 16 - 18 = (x + 4)² - 18


• в) 3x² - 12x - 5:


• 3(x² - 4x) - 5 = 3(x² - 4x + 4 - 4) - 5 = 3(x - 2)² - 12 - 5 = 3(x - 2)² - 17


• г) 0,5x² + 3x + 7:


• 0,5(x² + 6x) + 7 = 0,5(x² + 6x + 9 - 9) + 7 = 0,5(x + 3)² - 4,5 + 7 = 0,5(x + 3)² + 2,5

Ответ: а) (x - 3)² + 5; б) (x + 4)² - 18; в) 3(x - 2)² - 17; г) 0,5(x + 3)² + 2,5

1241. Решите уравнение

Чтобы решить уравнения с корнями, нужно изолировать корень и возвести обе части в квадрат.

• а) x√x = 6:




• Возведем обе части в квадрат: (x√x)² = 6²


• x² * x = 36


• x³ = 36


• x = ³√36




• б) 3x - 4√x = 4:




• Сделаем замену: пусть t = √x, тогда x = t².


• 3t² - 4t = 4


• 3t² - 4t - 4 = 0


• Решим квадратное уравнение для t: t = (4 ± √(16 - 4*3*(-4))) / (2*3) = (4 ± √(16 + 48)) / 6 = (4 ± √64) / 6 = (4 ± 8) / 6


• t₁ = (4 + 8) / 6 = 12 / 6 = 2


• t₂ = (4 - 8) / 6 = -4 / 6 = -2/3


• Так как t = √x, то t не может быть отрицательным. Значит, t = 2.


• √x = 2


• x = 4

Ответ: а) x = ³√36; б) x = 4

1242. Представьте в виде рациональной дроби

Чтобы представить выражение в виде рациональной дроби, нужно привести дроби к общему знаменателю.

• Общий знаменатель: (a + 2)(a² + 3a + 2) = (a + 2)(a + 1)(a + 2) = (a + 1)(a + 2)²


• Первая дробь: (a - 1) / (a + 2)


• Вторая дробь: (1 - a) / (a² + 3a + 2) = (1 - a) / ((a + 1)(a + 2))


• Приведем к общему знаменателю:


• (a - 1)(a + 1)(a + 2) / ((a + 1)(a + 2)²) - (1 - a)(a + 2) / ((a + 1)(a + 2)²)


• (a² - 1)(a + 2) / ((a + 1)(a + 2)²) - (a + 2 - a² - 2a) / ((a + 1)(a + 2)²)


• (a³ + 2a² - a - 2 - (-a² - a + 2)) / ((a + 1)(a + 2)²)


• (a³ + 2a² - a - 2 + a² + a - 2) / ((a + 1)(a + 2)²)


• (a³ + 3a² - 4) / ((a + 1)(a + 2)²)

Ответ: (a³ + 3a² - 4) / ((a + 1)(a + 2)²)