Квадратные корни. Задание 4. Освободитесь от знака коре в знаменателе дроби: а) 2/√7 б) √2/√2+1 б) 4b-2 / 2√b-√2 б) 9 / 3√

Задание 4: Освободись от знака корня в знаменателе дроби.

Привет! Давай разберемся с этими дробями, где внизу спрятался корень. Наша цель — избавиться от него, чтобы дробь выглядела красивее и была удобнее для вычислений.

а) \(\frac{2}{\sqrt{7}}\)

Чтобы убрать корень из знаменателя, умножим числитель и знаменатель на сам этот корень:

• \(\frac{2}{\sqrt{7}}\) \(\times\) \(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\) = \(\frac{2\sqrt{7}}\){\(\sqrt{7}\)^2} = \(\frac{2\sqrt{7}}{7}\)

Теперь корень остался только в числителе, а знаменатель — просто число. Отлично!

б) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\)

Здесь в знаменателе у нас сумма с корнем. Чтобы избавиться от корня, будем использовать формулу разности квадратов: (a-b)(a+b) = a^2 - b^2. Если у нас a+b, то умножать нужно на a-b. В нашем случае a = \(\sqrt{2}\) и b = 1.

• \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\) \(\times\) \(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}\) = \(\frac\){\(\sqrt{2}\)\(\sqrt{2}-1\)}{\(\sqrt{2}\)^2 - 1^2} = \(\frac\){\(\sqrt{2}\)^2 - \(\sqrt{2}\)}{2 - 1} = \(\frac{2 - \sqrt{2}}{1}\) = 2 - \(\sqrt{2}\)

И снова мы справились, корень исчез из знаменателя!

б) \(\frac{4b-2}{2\sqrt{b}-\sqrt{2}}\)

Тут у нас тоже разность с корнями в знаменателе. Применим ту же формулу разности квадратов, но теперь умножать будем на 2\(\sqrt{b}\) + \(\sqrt{2}\).

• \(\frac{4b-2}{2\sqrt{b}-\sqrt{2}}\) \(\times\) \(\frac{2\sqrt{b}+\sqrt{2}}{2\sqrt{b}+\sqrt{2}}\) = \(\frac\){(4b-2)\(2\sqrt{b}+\sqrt{2}\)}{\(2\sqrt{b}\)^2 - \(\sqrt{2}\)^2} = \(\frac\){(4b-2)\(2\sqrt{b}+\sqrt{2}\)}{4b - 2}

Видишь, 4b-2 есть и в числителе, и в знаменателе! Можно сократить:

• \(\frac\){\(\cancel{(4b-2)}\)\(2\sqrt{b}+\sqrt{2}\)}{\(\cancel{4b - 2}\)} = 2\(\sqrt{b}\) + \(\sqrt{2}\)

Отлично, корень ушел!

б) \(\frac{9}\){3\(\sqrt{}\) \(Предполагаем, что в знаменателе 3 или 3\sqrt{x}. Если там просто 3, то проблем нет. Если 3\sqrt{x}, то действуем так же, как в первом примере.\)

Если знаменатель 3\(\sqrt{x}\), то:

• \(\frac{9}{3\sqrt{x}}\) \(\times\) \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) = \(\frac{9\sqrt{x}}\){3\(\sqrt{x}\)^2} = \(\frac{9\sqrt{x}}{3x}\) = \(\frac{3\sqrt{x}}{x}\)

Вот и всё!

Итоговый ответ:

• а) \(\frac{2\sqrt{7}}{7}\)
• б) 2 - \(\sqrt{2}\)
• б) 2\(\sqrt{b}\) + \(\sqrt{2}\)
• б) \(\frac{3\sqrt{x}}{x}\) \(при условии, что знаменатель 3\sqrt{x}\)