Квадратные уравнения. Применение теоремы Виета 10/13 Условие задания: Не решая уравнение $$x^2 + 6x - 11 = 0$$, определи знаки его корней. Корни разных знаков Оба отрицательны Нет верного ответа

Решение:

Для определения знаков корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) без его решения, можно воспользоваться свойствами дискриминанта и теоремой Виета.

В данном уравнении: \( x^2 + 6x - 11 = 0 \).

Коэффициенты:

• \( a = 1 \)
• \( b = 6 \)
• \( c = -11 \)

1. Проверим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80 \]

Так как \( D = 80 > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.

2. Проверим произведение корней по теореме Виета:

Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-11}{1} = -11 \]

Так как произведение корней отрицательное (\( -11 < 0 \)), это означает, что корни имеют разные знаки (один корень положительный, а другой отрицательный).

3. Проверим сумму корней по теореме Виета:

Сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \).

\[ x_1 + x_2 = -\frac{6}{1} = -6 \]

Сумма корней отрицательная. Это также подтверждает, что корни имеют разные знаки, и корень с большим модулем является отрицательным.

Вывод: Поскольку произведение корней отрицательное, корни имеют разные знаки.

Ответ: Корни разных знаков.