К-4 Вариант 2 1°. В треугольнике ABC ∠B = отрезки АС и ВС. 70°, ∠C = 60°. Сравните 20. Даны два треугольника АВС и МРК, ∠A = ∠M = = 90°, ∠C = ∠K, BC = KР, 1R АС = ВС. Найдите угол Р. 2 3. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠C = 15°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 15°. а) Докажите, что BD = 2АВ. б) Докажите, что ВС < 4АВ. 4*. В треугольнике все стороны имеют разные длины. Можно ли этот треугольник разрезать на равносторонние треугольники?

1°

В треугольнике ABC ∠B = 70°, ∠C = 60°. Сравните отрезки AC и BC.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠A = 180° - 70° - 60° = 50°.

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
• ∠B > ∠C > ∠A, следовательно, AC > AB > BC.

Ответ: AC > BC

2°

Даны два треугольника ABC и MPK, ∠A = ∠M = 90°, ∠C = ∠K, BC = KP, AC = 1/2 BC. Найдите угол P.

• Треугольники ABC и MPK равны по гипотенузе и острому углу (BC = KP, ∠C = ∠K).
• Следовательно, ∠B = ∠P.
• В треугольнике ABC: AC = 1/2 BC, значит, ∠B = 30° (катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы).
• ∠P = ∠B = 30°.
• Тогда ∠P = 180 - 90 - 30 = 60°.

Ответ: ∠P = 60°

3

В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠C = 15°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠DBC = 15°.

а) Докажите, что BD = 2AB.

б) Докажите, что BC < 4AB.

а) Рассмотрим треугольник ABD: ∠ABD = 90° - 15° - 15° = 60°.

• В треугольнике BDC углы ∠DBC = ∠C = 15°, значит, треугольник равнобедренный и BD = CD.
• В прямоугольном треугольнике ABD: AB = BD * sin(30°) = 1/2 BD.
• Следовательно, BD = 2AB.

б) Рассмотрим треугольник ABC: BC = AB / sin(15°).

Нужно доказать, что AB / sin(15°) < 4AB, или 1 / sin(15°) < 4, или sin(15°) > 1/4.

sin(15°) = sin(45° - 30°) = sin45°cos30° - cos45°sin30° = (√2 / 2) * (√3 / 2) - (√2 / 2) * (1 / 2) = (√6 - √2) / 4 ≈ 0.2588.

Так как 0.2588 > 0.25, то sin(15°) > 1/4, и, следовательно, BC < 4AB.

4*

В треугольнике все стороны имеют разные длины. Можно ли этот треугольник разрезать на равносторонние треугольники?

Нет, нельзя. Равносторонний треугольник имеет все углы по 60°. Чтобы разрезать треугольник с разными сторонами на равносторонние, необходимо, чтобы сумма углов в вершинах составляла 180° или 360°. Это невозможно, так как углы должны быть кратны 60°, а углы треугольника различны.

Цифровой атлет: Уровень интеллекта: +50

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке