K-3 Вариант 1 1°. В выпуклом четырехугольнике ABCD все стороны имеют разные длины. Диагонали четырехугольника пересекаются в точ- ке О, ОС=5 см, ОВ=6 см, ОА=15 см, OD=18 см. а) Докажите, что четырехугольник ABCD является трапе- цией. б) Найдите отношение площадей треугольников AOD и ВОС. 2. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты точ- ки Ки М соответственно, причем ∠KMC+∠A=180°. а) Докажите, что KM/AC = BK/BC. б) Найдите отношение АВ: ВМ, если площадь четырехуголь- ника АКМС относится к площади треугольника ВКМ как 8:1. 3*. В трапеции ABCD на меньшем основании ВС и на боковой стороне CD взяты точки Е и К соответственно, а на отрезке АЕ отмечена точка О. Найдите отношение AB/BE, если КС-2 см, KD=3 см, ОК||AD, LOBA= ∠OBE.

1°. В выпуклом четырехугольнике ABCD все стороны имеют разные длины. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О, ОС=5 см, ОВ=6 см, ОА=15 см, OD=18 см.

а) Докажите, что четырехугольник ABCD является трапецией.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является трапецией, нужно показать, что две его стороны параллельны.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. Если отношение сторон AO/OC равно отношению сторон OD/OB, то эти треугольники подобны, и углы BAO и DCO равны.

Проверим это условие: $$ \frac{OA}{OC} = \frac{15}{5} = 3 $$ $$ \frac{OD}{OB} = \frac{18}{6} = 3 $$ Так как отношения равны, треугольники AOB и COD подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует равенство углов: ∠BAO = ∠DCO. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Значит, AB || CD.

Таким образом, четырехугольник ABCD, у которого стороны AB и CD параллельны, является трапецией.

Ответ: Четырехугольник ABCD является трапецией, так как AB || CD.

б) Найдите отношение площадей треугольников AOD и ВОС.

Так как треугольники AOB и COD подобны с коэффициентом подобия k = 3, то площади этих треугольников относятся как $$k^2 = 3^2 = 9$$.

Площади треугольников AOD и BOC равны, так как $$ S_{AOD} = \frac{1}{2} OA \cdot OD \cdot sin(∠AOD)$$ $$ S_{BOC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC \cdot sin(∠BOC)$$ Углы AOD и BOC равны как вертикальные. Следовательно, отношение площадей: $$ \frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = \frac{OA \cdot OD}{OB \cdot OC} = \frac{15 \cdot 18}{6 \cdot 5} = \frac{270}{30} = 9 $$ Площади треугольников AOD и BOC относятся как 9:1

Ответ: 9.

2. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки Ки М соответственно, причем ∠KMC+∠A=180°. а) Докажите, что KM/AC = BK/BC.

Рассмотрим четырехугольник AKMC. Сумма его противоположных углов ∠KMC + ∠A = 180°. Это означает, что около четырехугольника AKMC можно описать окружность. Значит, этот четырехугольник вписанный.

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, ∠AKM = ∠ACМ.

Рассмотрим треугольники BKM и BAC. У них общий угол ∠B, и ∠AKM = ∠ACМ. Значит, эти треугольники подобны по двум углам (∠B - общий, ∠BKM = ∠BCA).

Из подобия треугольников BKM и BAC следует пропорциональность сторон: $$ \frac{BK}{BC} = \frac{KM}{AC} $$ Таким образом, доказано, что KM/AC = BK/BC.

Ответ: Доказано, что KM/AC = BK/BC.

б) Найдите отношение АВ: ВМ, если площадь четырехугольника АКМС относится к площади треугольника ВКМ как 8:1.

Дано: $$ \frac{S_{AKMC}}{S_{BKM}} = \frac{8}{1} $$. Площадь AKMC можно представить как разность площади треугольника ABC и площади треугольника BKM: $$ S_{AKMC} = S_{ABC} - S_{BKM} $$.

Тогда $$ \frac{S_{ABC} - S_{BKM}}{S_{BKM}} = 8 $$. $$ S_{ABC} - S_{BKM} = 8S_{BKM} $$ $$ S_{ABC} = 9S_{BKM} $$ $$ \frac{S_{ABC}}{S_{BKM}} = 9 $$.

Так как треугольники ABC и BKM подобны, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $$ (\frac{AB}{BK})^2 = (\frac{BC}{BM})^2 = (\frac{AC}{KM})^2 = 9 $$.

Отсюда следует, что $$ \frac{AB}{BK} = \frac{BC}{BM} = 3 $$. Следовательно, $$ \frac{AB}{3} = BK $$ и $$ \frac{BC}{3} = BM $$.

Выразим AB через BK: $$ AB = 3BK $$. Выразим BM через BC: $$ BM = \frac{BC}{3} $$.

Нам нужно найти отношение AB:BM, то есть $$ \frac{AB}{BM} = \frac{3BK}{\frac{BC}{3}} = \frac{9BK}{BC} $$. Из равенства отношений $$ \frac{BK}{BC} = \frac{KM}{AC} = \frac{1}{3} $$, следует, что $$ \frac{BK}{BC} = \frac{1}{3} $$.

Тогда $$ \frac{AB}{BM} = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3 $$.

Таким образом, AB:BM = 3:1.

Ответ: 3.

3*. В трапеции ABCD на меньшем основании ВС и на боковой стороне CD взяты точки Е и К соответственно, а на отрезке АЕ отмечена точка О. Найдите отношение AB/BE, если КС-2 см, KD=3 см, ОК||AD, ∠OBA= ∠OBE.

Пусть ABCD - трапеция, BC || AD. E лежит на BC, K лежит на CD, O лежит на AE, OK || AD. Дано KC = 2 см, KD = 3 см, ∠OBA = ∠OBE.

Так как OK || AD и BC || AD, то OK || BC. Рассмотрим треугольник BCE. OK || BC, значит, по теореме Фалеса, $$ \frac{BO}{OE} = \frac{CK}{KD} = \frac{2}{3} $$.

Так как ∠OBA = ∠OBE, BO - биссектриса угла ABE. Рассмотрим треугольник ABE. По свойству биссектрисы, $$ \frac{AB}{BE} = \frac{AO}{OE} $$.

Так как AO = AE - OE, то $$ \frac{AO}{OE} = \frac{AE - OE}{OE} = \frac{AE}{OE} - 1 $$. AE = AO + OE.

Известно, что $$ \frac{BO}{OE} = \frac{2}{3} $$. Следовательно, $$ \frac{AE}{OE} = \frac{AO + OE}{OE} = \frac{AO}{OE} + 1 $$.

Так как $$ \frac{BO}{OE} = \frac{CK}{KD} = \frac{2}{3} $$, то $$ AO = \frac{5}{3} OE $$. Тогда $$ \frac{AO}{OE} = \frac{5}{3} $$.

Следовательно, $$ \frac{AB}{BE} = \frac{AO}{OE} = \frac{5}{3} $$.

Ответ: 5/3.