К-2 Вариант 3 1. В треугольнике АВС ∠A = 20°, ∠C= 50°, AC 15. Найдите неизвестные элементы треугольника и радиус оди-

В треугольнике ABC даны ∠A = 20°, ∠C = 50° и AC = 15.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 20° - 50° = 110°.

Для нахождения сторон AB и BC воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{AB}{sin(C)} = \frac{BC}{sin(A)} = \frac{AC}{sin(B)}$$.

$$\frac{AB}{sin(50°)} = \frac{BC}{sin(20°)} = \frac{15}{sin(110°)}$$.

Найдём AB:

$$AB = \frac{15 \cdot sin(50°)}{sin(110°)}$$

$$AB = \frac{15 \cdot 0.766}{0.9397} ≈ 12.23$$.

Найдём BC:

$$BC = \frac{15 \cdot sin(20°)}{sin(110°)}$$

$$BC = \frac{15 \cdot 0.342}{0.9397} ≈ 5.45$$.

Радиус описанной окружности R находим по теореме синусов:

$$\frac{AC}{sin(B)} = 2R$$.

$$R = \frac{AC}{2 \cdot sin(B)} = \frac{15}{2 \cdot sin(110°)}$$

$$R = \frac{15}{2 \cdot 0.9397} ≈ 7.98$$.

Ответ: ∠B = 110°, AB ≈ 12.23, BC ≈ 5.45, R ≈ 7.98.