K-7 Вариант 1 1. Вычислите: 34 a) 6) 7:21: 59 20 )(4) 2. Вычислите: 5 21 a) 7 20 30 16,8 217 6) ·(-)+:: (一):(一)(): 3. Имеется 420 р. Израсходовали этой сум- мы, а потом остатка. Сколько рублей осталось? A 3 7 4. На прошлой неделе Саша прочитал всей книги, а на этой неделе - половину оставшихся страниц да еще 20 страниц и дочитал книгу до конца. Сколько страниц в книге? 5. Укажите наименьшую дробь со знаменате лем 7, большую 1 3', но меньшую 2 K-7 Вариант ІI 1. Вычислите: a) 4.10. 5 11 6) 3:18: 719 2. Вычислите: 4 B)(). a):(一)+; 6) (1-1):(-)(): 4 45 12 25 4 15 16 15 15 3. В книге 320 страниц. Прочитали всей кни- ги, а потом 2 остатка. Сколько страниц осталось еще прочитать? 9 4. Токарь выполнил до обеда 5 задания. После обеда он обточил половину оставшихся деталей да еще 24 детали и выполнил все задание. Сколько деталей токарь обточил за день? 5. Укажите наименьшую дробь со знаменате 1 лем 8, большую, но меньшую 3

Вариант 1

1. Вычислите:

a) \[\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 9} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}\]

б) \[\frac{7}{9} : \frac{21}{25} = \frac{7}{9} \cdot \frac{25}{21} = \frac{7 \cdot 25}{9 \cdot 21} = \frac{25}{9 \cdot 3} = \frac{25}{27}\]

в) \[\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}\]

2. Вычислите:

а) \(\frac{5}{7} \cdot (\frac{21}{20} - \frac{7}{30}) + \frac{16}{21} \cdot \frac{8}{7}\)

Сначала упростим выражение в скобках:

\[\frac{21}{20} - \frac{7}{30} = \frac{21 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{63}{60} - \frac{14}{60} = \frac{63 - 14}{60} = \frac{49}{60}\]

Теперь подставим это обратно в выражение:

\[\frac{5}{7} \cdot \frac{49}{60} + \frac{16}{21} \cdot \frac{8}{7} = \frac{5 \cdot 49}{7 \cdot 60} + \frac{16 \cdot 8}{21 \cdot 7} = \frac{245}{420} + \frac{128}{147}\]

Упростим первую дробь:

\[\frac{245}{420} = \frac{5 \cdot 49}{5 \cdot 84} = \frac{49}{84} = \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 12} = \frac{7}{12}\]

Теперь имеем:

\[\frac{7}{12} + \frac{128}{147} = \frac{7 \cdot 49}{12 \cdot 49} + \frac{128 \cdot 4}{147 \cdot 4} = \frac{343}{588} + \frac{512}{588} = \frac{343 + 512}{588} = \frac{855}{588} = \frac{285}{196}\]

б) \[\left(1 - \frac{1}{2}\right) : \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} : \left(\frac{4}{12} - \frac{3}{12}\right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} : \frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4\]

3. Имеется 420 р. Израсходовали \(\frac{1}{3}\) этой суммы, а потом \(\frac{1}{4}\) остатка. Сколько рублей осталось?

Сначала найдем, сколько израсходовали в первый раз:

\[\frac{1}{3} \cdot 420 = 140\]

Остаток после первого раза:

\[420 - 140 = 280\]

Потом израсходовали \(\frac{1}{4}\) остатка:

\[\frac{1}{4} \cdot 280 = 70\]

Осталось после второго раза:

\[280 - 70 = 210\]

4. На прошлой неделе Саша прочитал \(\frac{3}{7}\) всей книги, а на этой неделе - половину оставшихся страниц да еще 20 страниц и дочитал книгу до конца. Сколько страниц в книге?

Пусть x - количество страниц в книге.

Саша прочитал на прошлой неделе \(\frac{3}{7}x\).

Осталось после прошлой недели \(x - \frac{3}{7}x = \frac{4}{7}x\).

На этой неделе он прочитал половину оставшихся страниц, то есть \(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7}x = \frac{2}{7}x\), и еще 20 страниц.

В итоге он прочитал \(\frac{2}{7}x + 20\) на этой неделе.

Сумма прочитанных страниц равна \(\frac{3}{7}x + \frac{2}{7}x + 20 = x\).

Тогда \(\frac{5}{7}x + 20 = x\).

Выразим x:

\[x - \frac{5}{7}x = 20 \Rightarrow \frac{2}{7}x = 20 \Rightarrow x = \frac{20 \cdot 7}{2} = 10 \cdot 7 = 70\]

5. Укажите наименьшую дробь со знаменателем 7, большую \(\frac{1}{3}\), но меньшую \(\frac{2}{3}\).

Нам нужно найти дробь \(\frac{x}{7}\), такую что \(\frac{1}{3} < \frac{x}{7} < \frac{2}{3}\).

Преобразуем неравенства:

\[\frac{1}{3} < \frac{x}{7} \Rightarrow 7 < 3x \Rightarrow x > \frac{7}{3} \approx 2.33\]

\[\frac{x}{7} < \frac{2}{3} \Rightarrow 3x < 14 \Rightarrow x < \frac{14}{3} \approx 4.66\]

Таким образом, \(2.33 < x < 4.66\). Единственные целые числа, удовлетворяющие этому условию, это 3 и 4. Так как нам нужна наименьшая дробь, то \(x = 3\).

Вариант II

1. Вычислите:

а) \[\frac{4}{5} \cdot \frac{10}{11} = \frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 11} = \frac{40}{55} = \frac{8}{11}\]

б) \[\frac{3}{7} : \frac{18}{19} = \frac{3}{7} \cdot \frac{19}{18} = \frac{3 \cdot 19}{7 \cdot 18} = \frac{19}{7 \cdot 6} = \frac{19}{42}\]

в) \[\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}\]

2. Вычислите:

а) \[\frac{4}{45} : \left(\frac{12}{25} - \frac{4}{15}\right) + \frac{15}{16} \cdot \frac{4}{15}\]

Сначала упростим выражение в скобках:

\[\frac{12}{25} - \frac{4}{15} = \frac{12 \cdot 3}{25 \cdot 3} - \frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{36}{75} - \frac{20}{75} = \frac{36 - 20}{75} = \frac{16}{75}\]

Теперь подставим это обратно в выражение:

\[\frac{4}{45} : \frac{16}{75} + \frac{15}{16} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4}{45} \cdot \frac{75}{16} + \frac{15 \cdot 4}{16 \cdot 15} = \frac{4 \cdot 75}{45 \cdot 16} + \frac{60}{240}\]

Упростим первую дробь:

\[\frac{4 \cdot 75}{45 \cdot 16} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 25}{3 \cdot 15 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{25}{15 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{5}{12}\]

Упростим вторую дробь:

\[\frac{60}{240} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\]

Теперь имеем:

\[\frac{5}{12} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5 + 3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

б) \[\left(1 - \frac{1}{2}\right) : \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{4}\right) : \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2} : \left(\frac{4}{12} - \frac{9}{12}\right) : \frac{1}{6} = \frac{1}{2} : \left(-\frac{5}{12}\right) : \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{12}{5}\right) \cdot 6 = -\frac{12 \cdot 6}{2 \cdot 5} = -\frac{6 \cdot 6}{5} = -\frac{36}{5}\]

3. В книге 320 страниц. Прочитали \(\frac{1}{4}\) всей книги, а потом \(\frac{1}{2}\) остатка. Сколько страниц осталось еще прочитать?

Сначала найдем, сколько прочитали в первый раз:

\[\frac{1}{4} \cdot 320 = 80\]

Остаток после первого раза:

\[320 - 80 = 240\]

Потом прочитали \(\frac{1}{2}\) остатка:

\[\frac{1}{2} \cdot 240 = 120\]

Осталось после второго раза:

\[240 - 120 = 120\]

4. Токарь выполнил до обеда \(\frac{5}{9}\) задания. После обеда он обточил половину оставшихся деталей да еще 24 детали и выполнил все задание. Сколько деталей токарь обточил за день?

Пусть x - количество деталей в задании.

До обеда токарь выполнил \(\frac{5}{9}x\).

Осталось после обеда \(x - \frac{5}{9}x = \frac{4}{9}x\).

После обеда он обточил половину оставшихся деталей, то есть \(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9}x = \frac{2}{9}x\), и еще 24 детали.

В итоге он обточил \(\frac{2}{9}x + 24\) после обеда.

Сумма обточенных деталей равна \(\frac{5}{9}x + \frac{2}{9}x + 24 = x\).

Тогда \(\frac{7}{9}x + 24 = x\).

Выразим x:

\[x - \frac{7}{9}x = 24 \Rightarrow \frac{2}{9}x = 24 \Rightarrow x = \frac{24 \cdot 9}{2} = 12 \cdot 9 = 108\]

5. Укажите наименьшую дробь со знаменателем 8, большую \(\frac{1}{3}\), но меньшую \(\frac{2}{3}\).

Нам нужно найти дробь \(\frac{x}{8}\), такую что \(\frac{1}{3} < \frac{x}{8} < \frac{2}{3}\).

Преобразуем неравенства:

\[\frac{1}{3} < \frac{x}{8} \Rightarrow 8 < 3x \Rightarrow x > \frac{8}{3} \approx 2.66\]

\[\frac{x}{8} < \frac{2}{3} \Rightarrow 3x < 16 \Rightarrow x < \frac{16}{3} \approx 5.33\]

Таким образом, \(2.66 < x < 5.33\). Единственные целые числа, удовлетворяющие этому условию, это 3, 4 и 5. Так как нам нужна наименьшая дробь, то \(x = 3\).

Ответ:

Все решено по шагам, надеюсь тебе все понятно! Ты молодец!