k xn Функция f (посто- (п∈Z, янная) п≠-1) Общий вид перво- образных для f kx+C |- 1 sin x COS X cos² x sin² x x²++ C2Vx+C - cos x + sinx + Ctg x + C - ctg x+ + секс +c Проверьте правильность заполнения этой таблицы са- мостоятельно. Упражнения Найдите общий вид первообразных для функции f (335-336). 335. a) f (x) = 2-x^; B) f (x) = 4x; 336.- a) f (x) = x; 6) f (x)=x+cos x; r) f (x) = -3. 1 6) f(x)=-2; 1 r) f (x)=x5. B) f(x)=1; x 337.- Для функции в найдите первообразную F, принимаю щую заданное значение в указанной точке: 1 a) f(x)=1, F(1) = -12; 6) f(x)=F()= cos2 x B) f (x)=x³, F (-1)=2; r) f (x)=sinx, F (-n) = - 338. — Проверьте, что функция F является первообразн для функции f. Найдите общий вид первообразне для f, если: a) F (x) = sinx - x cos x, f (x) = x sin x; 6) F(x) = x²+1, f (x)=; 2

Первообразная F(x) = ∫ (2 - x⁴) dx = 2x - \(\frac{x^5}{5}\) + C

Первообразная F(x) = ∫ (x + cos x) dx = \(\frac{x^2}{2}\) + sin x + C

Первообразная F(x) = ∫ 4x dx = 2x² + C

Первообразная F(x) = ∫ -3 dx = -3x + C

Первообразная F(x) = ∫ x⁶ dx = \(\frac{x^7}{7}\) + C

Первообразная F(x) = ∫ x^-3 dx = \(\frac{x^{-2}}{-2}\) + C = -\(\frac{1}{2x^2}\) + C

Первообразная F(x) = ∫ (1 - x^-4) dx = x - \(\frac{x^{-3}}{-3}\) + C = x + \(\frac{1}{3x^3}\) + C

Первообразная F(x) = ∫ x⁵ dx = \(\frac{x^6}{6}\) + C

• Первообразная F(x) = ∫ \(\frac{1}{cos^2 x}\) dx = tg x + C
• Подставляем заданное значение: F(\( \frac{\pi}{4}\)) = tg(\( \frac{\pi}{4}\)) + C = 1 + C = -12
• C = -13
• F(x) = tg x - 13

• Первообразная F(x) = ∫ \(\frac{1}{x^2}\) dx = -\(\frac{1}{x}\) + C
• Подставляем заданное значение: F(\(\frac{1}{2}\)) = -\(\frac{1}{\frac{1}{2}}\) + C = -2 + C = -12
• C = -10
• F(x) = -\(\frac{1}{x}\) - 10

• Первообразная F(x) = ∫ x³ dx = \(\frac{x^4}{4}\) + C
• Подставляем заданное значение: F(-1) = \(\frac{(-1)^4}{4}\) + C = \(\frac{1}{4}\) + C = 2
• C = 2 - \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{7}{4}\)
• F(x) = \(\frac{x^4}{4}\) + \(\frac{7}{4}\)

• Первообразная F(x) = ∫ sin x dx = -cos x + C
• Подставляем заданное значение: F(-\(\pi\)) = -cos(-\(\pi\)) + C = -(-1) + C = 1 + C = -2
• C = -3
• F(x) = -cos x - 3

• Находим производную F(x): F'(x) = (sin x - x cos x)' = cos x - (cos x - x sin x) = x sin x
• Так как F'(x) = f(x), то F(x) является первообразной для f(x). Общий вид первообразной: sin x - x cos x + C

• Находим производную F(x): F'(x) = (\(\sqrt{x^2 + 1}\))' = \(\frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}\) = \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)
• Так как F'(x) = f(x), то F(x) является первообразной для f(x). Общий вид первообразной: \(\sqrt{x^2 + 1}\) + C