Лабораторная работа № 6 Вычисление площади полной поверхности и объёма усечённого конуса. Оборудование: модель усечённого конуса, линейка, нитка, учебник справочник, задачник, калькулятор. Измерения: ниткой измерить длину окружностей нижнего и верхнего оснований линейкой измерить образующую. С - 10 см. Длина окружности нижнего основания С₁ - 6 см. Длина окружности верхнего основания L - 8 см. Образующая усечённого конуса Формулы для вычисления: 1. Ѕп.п.ус.к. = Ѕбок.п. + Ѕниж.о. + Ѕвер.ос.- площадь полной поверхности 2. S 60K=IL(r+R) - площадь боковой поверхности усеченного конуса 3. S осн.вер. = Пг² - площадь круга. 4. S осн.ниж. ПR2 - площадь круга. 5. L =Π(H²+(R-r)²) - - длина образующей (теорема Пифагора) 6. V=1/3 IH ++ - объем усеченного конуса 7. С²= a² + в² - Теорема Пифагора. Вычисления: 1. Провести диагонали в нижнем и верхнем основаниях 2. Опустить перпендикуляры из диагонали верхнего основания на диагональ нижнего основания. 3. Вычислить используя радиус нижнего основания по формуле R= 2Π 4. Вычислить используя радиус верхнего основная по формуле г = 2Π 5. Найти разность между этими радиусами (R-r) 6. Найти высоту усечённого конуса по теореме Пифагора HL2 - (R-r)² 7. Вычислить площадь нижнего основания по формулу S=IR2 8. Вычислить площадь верхнего основания по формуле Ѕ₁=Пр² 9. Полученные данные подставить в формулы площади боковой поверхности, площади полной поверхности, объёма усечённого конуса. 10.Записать вывод; V = 130 см³; S = 150 см² Ответить на вопросы: 1. Дать определение данной фигуры. 2. Записать все свойства. 3. Привести примеры использования данной модели в своей профессии, Быту, технике, производстве, предметах окружающей обстановки Составить и решить задачу по своей профессии.

Определение усечённого конуса

Усечённый конус — это тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг одного из её катетов, если эта трапеция не является равнобедренной.

Расчёты

Дано:

• Длина окружности нижнего основания \( C = 10 \) см
• Длина окружности верхнего основания \( C_1 = 6 \) см
• Образующая \( L = 8 \) см

Найти:

• Площадь полной поверхности \( S_{п.п.} \)
• Объём \( V \)

1. Находим радиусы оснований:

• Радиус нижнего основания: \( R = \frac{C}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \) см
• Радиус верхнего основания: \( r = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi} \) см

2. Находим высоту усечённого конуса:

• Используем теорему Пифагора: \( H^2 = L^2 - (R-r)^2 \)
• \( H^2 = 8^2 - (\frac{5}{\pi} - \frac{3}{\pi})^2 = 64 - (\frac{2}{\pi})^2 = 64 - \frac{4}{\pi^2} \)
• \( H = \sqrt{64 - \frac{4}{\pi^2}} \) см

3. Вычисляем площади оснований:

• Площадь нижнего основания: \( S_{ниж.о.} = \pi R^2 = \pi (\frac{5}{\pi})^2 = \pi \frac{25}{\pi^2} = \frac{25}{\pi} \) см²
• Площадь верхнего основания: \( S_{вер.о.} = \pi r^2 = \pi (\frac{3}{\pi})^2 = \pi \frac{9}{\pi^2} = \frac{9}{\pi} \) см²

4. Вычисляем площадь боковой поверхности:

• \( S_{бок.п.} = \pi(R+r)L = \pi(\frac{5}{\pi} + \frac{3}{\pi}) \cdot 8 = \pi(\frac{8}{\pi}) \cdot 8 = 8 \cdot 8 = 64 \) см²

5. Вычисляем площадь полной поверхности:

• \( S_{п.п.} = S_{бок.п.} + S_{ниж.о.} + S_{вер.о.} \)
• \( S_{п.п.} = 64 + \frac{25}{\pi} + \frac{9}{\pi} = 64 + \frac{34}{\pi} \) см²

6. Вычисляем объём усечённого конуса:

• \( V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2) \)
• \( V = \frac{1}{3}\pi \sqrt{64 - \frac{4}{\pi^2}} ((\frac{5}{\pi})^2 + \frac{5}{\pi}\frac{3}{\pi} + (\frac{3}{\pi})^2) \)
• \( V = \frac{1}{3}\pi \sqrt{64 - \frac{4}{\pi^2}} (\frac{25}{\pi^2} + \frac{15}{\pi^2} + \frac{9}{\pi^2}) \)
• \( V = \frac{1}{3}\pi \sqrt{64 - \frac{4}{\pi^2}} (\frac{49}{\pi^2}) \)
• \( V = \frac{49\pi}{3\pi^2} \sqrt{64 - \frac{4}{\pi^2}} = \frac{49}{3\pi} \sqrt{64 - \frac{4}{\pi^2}} \) см³

Ответы на вопросы:

1. Определение данной фигуры: Усечённый конус – это часть конуса, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими конус. Он получается, если отсечь верхнюю часть прямого кругового конуса плоскостью, параллельной его основанию.
2. Свойства усечённого конуса:
   • Имеет два основания – круглые, расположенные параллельно друг другу.
   • Основания имеют разные радиусы (R и r).
   • Боковая поверхность является развёрткой криволинейной трапеции.
   • Образующая (L) – отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и принадлежащий боковой поверхности.
   • Высота (H) – перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего основания.
3. Примеры использования:
   Усечённый конус встречается во многих областях:
   
   • В быту: ведра, стаканы, абажуры ламп, кастрюли.
   • В технике: трубы (часто имеют форму усечённого конуса или его частей), ковши экскаваторов, некоторые части двигателей, наконечники для заливки жидкостей.
   • В строительстве: колонны, башни, элементы кровли.
   • В природе: вулканические конусы (верхняя часть), сталагмиты и сталактиты.
4. Задача:

Задача: Найти площадь полной поверхности и объём усечённого конуса, если радиусы оснований равны 5 см и 3 см, а образующая равна 10 см.

Решение:

1. Радиусы: \( R = 5 \) см, \( r = 3 \) см.
2. Образующая: \( L = 10 \) см.
3. Высота: \( H = \sqrt{L^2 - (R-r)^2} = \sqrt{10^2 - (5-3)^2} = \sqrt{100 - 2^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \) см.
4. Площади оснований:
   \( S_{ниж.о.} = \pi R^2 = \pi(5^2) = 25\pi \) см².
   \( S_{вер.о.} = \pi r^2 = \pi(3^2) = 9\pi \) см².
5. Площадь боковой поверхности:
   \( S_{бок.п.} = \pi(R+r)L = \pi(5+3)10 = 80\pi \) см².
6. Площадь полной поверхности:
   \( S_{п.п.} = S_{бок.п.} + S_{ниж.о.} + S_{вер.о.} = 80\pi + 25\pi + 9\pi = 114\pi \) см².
7. Объём:
   \( V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi (4\sqrt{6})(5^2 + 5\cdot3 + 3^2) = \frac{4\pi\sqrt{6}}{3}(25 + 15 + 9) = \frac{4\pi\sqrt{6}}{3}(49) = \frac{196\pi\sqrt{6}}{3} \) см³.

Ответ: Площадь полной поверхности \( S_{п.п.} = (64 + \frac{34}{\pi}) \) см², объём \( V = \frac{49}{3\pi} \sqrt{64 - \frac{4}{\pi^2}} \) см³.

Ответ на задачу: Площадь полной поверхности \( S_{п.п.} = 114\pi \) см², объём \( V = \frac{196\pi\sqrt{6}}{3} \) см³.