Лабораторный колокол, содержащий v = 6 моль воздуха при давлении p₁ = 1,3 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = αvTlog₂ (p₂/p₁), где α = 9,5 — постоянная, T = 350 К — температура воздуха. Найдите, какое давление p₂ (в атм.) будет иметь воздух в колоколе, если при этом была совершена работа в 39900 Дж.

Дано:

\( v = 6 \) моль

\( p_1 = 1,3 \) атм

\( \alpha = 9,5 \)

\( T = 350 \) К

\( A = 39900 \) Дж

Найти:

\( p_2 \)

Решение:

Используем формулу для работы при изотермическом сжатии:

\[ A = \alpha v T \log_2\frac{p_2}{p_1} \]

Выразим отношение давлений \( \frac{p_2}{p_1} \) из формулы:

\[ \log_2\frac{p_2}{p_1} = \frac{A}{\alpha v T} \]

Подставим известные значения:

\[ \log_2\frac{p_2}{p_1} = \frac{39900}{9,5 \cdot 6 \cdot 350} = \frac{39900}{19950} = 2 \]

Теперь найдём отношение давлений, используя определение логарифма:

\[ \frac{p_2}{p_1} = 2^2 = 4 \]

Вычислим конечного давления \( p_2 \):

\[ p_2 = 4 \cdot p_1 = 4 \cdot 1,3 \text{ атм} = 5,2 \text{ атм} \]

Ответ: 5,2 атм