1) lag₁/₃ x > lag₁/₃ 12 2) log₄(x + 3) < 2 3) log₀,₆(7x+8) < log₀,₆(2-5x) 4) (x-4)(5-3x) > 0 5) (2x-1)²(3-2x)³(4-x) < 0

1) Решим неравенство $$log_{\frac{1}{3}} x > log_{\frac{1}{3}} 12$$.

ОДЗ: $$x>0$$

Так как основание логарифма меньше 1 ($$\frac{1}{3} < 1$$), то функция убывает, и при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$$x < 12$$

Учитывая ОДЗ, получаем:

$$0 < x < 12$$

Ответ: $$(0; 12)$$

---

2) Решим неравенство $$log_4(x+3) < 2$$.

ОДЗ: $$x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$$

Представим 2 как логарифм по основанию 4: $$2 = log_4(4^2) = log_4(16)$$.

$$log_4(x+3) < log_4(16)$$

Так как основание логарифма больше 1 (4 > 1), то функция возрастает, и при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства сохраняется:

$$x+3 < 16$$

$$x < 13$$

Учитывая ОДЗ, получаем:

$$-3 < x < 13$$

Ответ: $$(-3; 13)$$

---

3) Решим неравенство $$log_{0.6}(7x+8) < log_{0.6}(2-5x)$$.

ОДЗ:

$$\begin{cases} 7x+8 > 0 \\ 2-5x > 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 7x > -8 \\ -5x > -2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x > -\frac{8}{7} \\ x < \frac{2}{5} \end{cases}$$

$$-\frac{8}{7} < x < \frac{2}{5}$$

Так как основание логарифма меньше 1 (0.6 < 1), то функция убывает, и при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$$7x+8 > 2-5x$$

$$12x > -6$$

$$x > -\frac{1}{2}$$

Учитывая ОДЗ, получаем:

$$-\frac{1}{2} < x < \frac{2}{5}$$

Ответ: $$(-0.5; 0.4)$$

---

4) Решим неравенство $$(x-4)(5-3x) > 0$$.

Найдем нули функции:

$$x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$$

$$5-3x = 0 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$$

Отметим нули на числовой прямой:

      +             -             +
------(5/3)--------(4)---------

Выберем интервал, где функция больше нуля:

$$x \in (-\infty; \frac{5}{3}) \cup (4; +\infty)$$

Так как неравенство строгое, то точки не включаются.

Но так как нам нужно $$(x-4)(5-3x) > 0$$, то знаки меняются:

      -             +             -
------(5/3)--------(4)---------

$$x \in (\frac{5}{3}; 4)$$

Ответ: $$\left(\frac{5}{3}; 4\right)$$

---

5) Решим неравенство $$(2x-1)^2(3-2x)^3(4-x) < 0$$.

Найдем нули функции:

$$2x-1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$

$$3-2x = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$$

$$4-x = 0 \Rightarrow x = 4$$

Отметим нули на числовой прямой:

      +        -         +          -
-----(1/2)----(3/2)-----(4)----->

Так как $$(2x-1)^2$$ всегда положительно, кроме точки $$x = \frac{1}{2}$$, то это не влияет на знаки, но $$x = \frac{1}{2}$$ нужно исключить.

Тогда решением будет:

$$x \in (\frac{3}{2}; 4)$$

Ответ: $$\left(\frac{3}{2}; 4\right)$$