Лекция 3_2. Показательные уравнения Решите уравнение 3^(x+2) + 3^(x+1) + 3^x = 39

Решение:

Данное уравнение является показательным. Для его решения вынесем общий множитель за скобки.

1. Представим степени с одинаковым основанием, используя свойства степеней: \( 3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 \), \( 3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 \).
2. Подставим это в исходное уравнение: \( 3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^1 + 3^x = 39 \).
3. Вынесем общий множитель \( 3^x \) за скобки: \( 3^x (3^2 + 3^1 + 1) = 39 \).
4. Вычислим сумму в скобках: \( 3^x (9 + 3 + 1) = 39 \).
5. Упростим уравнение: \( 3^x (13) = 39 \).
6. Разделим обе части уравнения на 13: \( 3^x = \frac{39}{13} \).
7. Получаем: \( 3^x = 3 \).
8. Так как основания одинаковы, приравниваем показатели степени: \( x = 1 \).

Ответ: x = 1.