Лена купила для гостей торт на свой день рождения. К ней может прийти либо 7, либо 8 человек. На какое наименьшее число кусков ей надо заранее разрезать торт так, чтобы его можно было поделить поровну как между 7, так и между 8 гостями.

Чтобы торт можно было поделить поровну как между 7, так и между 8 гостями, необходимо, чтобы количество кусков торта делилось и на 7, и на 8. Другими словами, количество кусков должно быть кратно 7 и 8. Наименьшее число, которое делится и на 7, и на 8, является наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел.

7 и 8 - взаимно простые числа, поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению.

$$7 \times 8 = 56$$

Чтобы можно было разделить торт поровну как между 7, так и между 8 гостями, нужно разрезать торт на 15 частей.

Если придут 7 гостей, то каждому достанется:

$$56 \div 7 = 8$$ кусков

Если придут 8 гостей, то каждому достанется:

$$56 \div 8 = 7$$ кусков

Теперь рассмотрим случай, когда нужно разрезать на меньшее число кусков. Для этого нужно найти наибольший общий делитель чисел 7 и 8. Поскольку это взаимно простые числа, то НОД(7, 8) = 1. Однако, в таком случае (1 кусок) невозможно разделить торт поровну между 7 или 8 гостями.

Рассмотрим вариант, когда разрезаем торт на 15 частей:

Если придут 7 гостей, то:

8 кусков одному гостю, 7 гостю 8 кусков, останется отдать 5 кусков

Если придут 8 гостей то:

7 кусков одному гостю, 8 гостю 7 кусков, останется отдать 1 кусок.

Это не подходит, так как при таком способе дележа торта между 7 и 8 гостями не получится поровну.

Значит торт надо разрезать на 15 частей, разрезав 7 кусков торта на 8 частей, а 8 кусков торта на 7 частей.

Тогда торт можно будет разделить поровну между гостями.

Ответ: 15