Левая часть доски. Решить уравнения и неравенства: 1) $4^{4x-1}=64$; 2) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}=9$; 3) $3\cdot2^{x+3}-2^{x+4}=4$; 4) $3^{2x}-2\cdot3^x-3=0$; 5) $\left(\frac{1}{5}\right)^{3-x}<25$; 6) $0{,}6^{2+3x}\ge1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Левая часть доски. Решить уравнения и неравенства: 1) $4^{4x-1}=64$; 2) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}=9$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Представим 64 как степень числа 4: $4^{4x-1}=4^3$, поэтому $4x-1=3$, откуда $x=1$.
Запишем обе части как степени числа 3: $3^{1-x}=3^2$. Тогда $1-x=2$, откуда $x=-1$.
Вынесем $2^x$: $3\cdot2^{x+3}-2^{x+4}=24\cdot2^x-16\cdot2^x=8\cdot2^x$. Получаем $8\cdot2^x=4$, то есть $2^x=\frac12=2^{-1}$, поэтому $x=-1$.
Положим $t=3^x$, где $t>0$. Тогда $t^2-2t-3=0$, то есть $(t-3)(t+1)=0$. С учётом $t>0$ получаем $t=3$, следовательно, $x=1$.
Перепишем неравенство как $5^{x-3}<5^2$. Поскольку основание больше 1, сравниваем показатели: $x-3<2$, откуда $x<5$.
Так как $0<0{,}6<1$, выражение $0{,}6^{2+3x}\ge1$ выполняется, когда показатель не положителен: $2+3x\le0$. Поэтому $x\le-\frac23$.

Ответ: 1) $x=1$; 2) $x=-1$; 3) $x=-1$; 4) $x=1$; 5) $x<5$; 6) $x\le-\frac23$.

Левая часть доски. Решить уравнения и неравенства: 1) \(4^{4x-1}=64\); 2) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}=9\); 3) \(3\cdot2^{x+3}-2^{x+4}=4\); 4) \(3^{2x}-2\cdot3^x-3=0\); 5) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{3-x}<25\); 6) \(0{,}6^{2+3x}\ge1\).