lg(2ˣ − 1); ½ lg 31 және lg(2ˣ + 1) үш сан х-тің қандай мәнінде арифметикалық прогрессия құрайды? A) 2.5 B) 3.5 C) 4.5 D) 0.5

Чтобы три числа составляли арифметическую прогрессию, среднее число должно быть средним арифметическим крайних чисел.

\( \frac{1}{2} \cdot lg(31) = \frac{lg(2^x - 1) + lg(2^x + 1)}{2} \)

Умножаем обе части на 2:

\( lg(31) = lg(2^x - 1) + lg(2^x + 1) \)

Используем свойство логарифмов \( lg(a) + lg(b) = lg(a \cdot b) \):

\( lg(31) = lg((2^x - 1)(2^x + 1)) \)

\( lg(31) = lg(2^{2x} - 1) \)

Основания логарифмов равны, поэтому приравниваем аргументы:

\( 31 = 2^{2x} - 1 \)

\( 2^{2x} = 32 \)

\( 2^{2x} = 2^5 \)

Приравниваем показатели:

\( 2x = 5 \)

\( x = \frac{5}{2} = 2.5 \)