339 1) 1/2 lg (x2 + x - 5) = lg (5x)+lg 1/5x ;

Для решения уравнения $$\frac{1}{2} \lg (x^{2} + x - 5) = \lg (5x) + \lg \frac{1}{5x}$$ используем свойства логарифмов. 1. Область определения: * $$x^{2} + x - 5 > 0$$ * $$5x > 0 \Rightarrow x > 0$$ * $$\frac{1}{5x} > 0 \Rightarrow x > 0$$ Решим $$x^{2} + x - 5 > 0$$. Корни квадратного уравнения $$x^{2} + x - 5 = 0$$ равны $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-5)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$$. Приблизительно, $$x_{1} = \frac{-1 - 4.58}{2} \approx -2.79$$ и $$x_{2} = \frac{-1 + 4.58}{2} \approx 1.79$$. Тогда $$x^{2} + x - 5 > 0$$ при $$x < -2.79$$ или $$x > 1.79$$. С учетом $$x > 0$$, область определения: $$(1.79, \infty)$$. 2. Преобразуем уравнение: Используем свойства $$n \lg a = \lg a^{n}$$ и $$\lg a + \lg b = \lg (ab)$$. Тогда: $$\lg (x^{2} + x - 5)^{\frac{1}{2}} = \lg (5x \cdot \frac{1}{5x})$$ $$\lg \sqrt{x^{2} + x - 5} = \lg 1$$ 3. Удалим логарифмы: Так как логарифмы с одинаковым основанием, можем приравнять аргументы: $$\sqrt{x^{2} + x - 5} = 1$$ 4. Решим уравнение: Возведем обе части в квадрат: $$x^{2} + x - 5 = 1$$ $$x^{2} + x - 6 = 0$$ Корни квадратного уравнения: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-6)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$. Получаем $$x_{1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$ и $$x_{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$. 5. Проверка на область определения: $$x = 2$$ принадлежит интервалу $$(1.79, \infty)$$, следовательно, это решение. $$x = -3$$ не принадлежит интервалу $$(1.79, \infty)$$, следовательно, это не решение. Ответ: $$x = 2$$