lg(x^2 - 8x + 13) > 0

Решение:

Неравенство имеет вид \( \log_{10} (x^2 - 8x + 13) > 0 \).

1. ОДЗ (область допустимых значений): Выражение под логарифмом должно быть больше нуля.
   \( x^2 - 8x + 13 > 0 \)
   Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 8x + 13 = 0 \) через дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 64 - 52 = 12 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
   \( x_1 = \frac{8 - 2\sqrt{3}}{2} = 4 - \sqrt{3} \)
   \( x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{3}}{2} = 4 + \sqrt{3} \)
   Парабола \( y = x^2 - 8x + 13 \) ветвями вверх, значит, \( x^2 - 8x + 13 > 0 \) при \( x \in (-\infty; 4 - \sqrt{3}) \cup (4 + \sqrt{3}; +\infty) \).
2. Решаем логарифмическое неравенство:
   \( \log_{10} (x^2 - 8x + 13) > \log_{10} 1 \)
   Так как основание логарифма \( 10 > 1 \), то:
   \( x^2 - 8x + 13 > 1 \)
   \( x^2 - 8x + 12 > 0 \)
   Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 8x + 12 = 0 \):
   \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \)
   \( \sqrt{D} = 4 \)
   \( x_3 = \frac{8 - 4}{2} = 2 \)
   \( x_4 = \frac{8 + 4}{2} = 6 \)
   Парабола \( y = x^2 - 8x + 12 \) ветвями вверх, значит, \( x^2 - 8x + 12 > 0 \) при \( x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty) \).
3. Пересекаем решения ОДЗ и самого неравенства:
   \( (-\infty; 4 - \sqrt{3}) \cup (4 + \sqrt{3}; +\infty) \) и \( (-\infty; 2) \cup (6; +\infty) \)
   Приблизительные значения: \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)
   \( 4 - \sqrt{3} \approx 4 - 1.732 = 2.268 \)
   \( 4 + \sqrt{3} \approx 4 + 1.732 = 5.732 \)
   Сравнивая интервалы:
   \( (-\infty; 2) \) пересекается с \( (-\infty; 2.268) \) → \( (-\infty; 2) \)
   \( (6; +\infty) \) пересекается с \( (5.732; +\infty) \) → \( (6; +\infty) \)

Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty) \).