lg(x²+2x-8)-lg(x+4) ≤ lg 3.

Для начала, запишем ОДЗ (область допустимых значений) для логарифмов.

1. x²+2x-8 > 0

Найдем корни уравнения x²+2x-8=0:

D = 2² - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36

x₁ = (-2 - 6) / 2 = -4

x₂ = (-2 + 6) / 2 = 2

Парабола y=x²+2x-8 ветвями вверх, поэтому x²+2x-8 > 0 при x < -4 или x > 2.

2. x+4 > 0

x > -4

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: x > 2.

Теперь решим само неравенство, используя свойства логарифмов (lg a - lg b = lg(a/b)):

lg( (x²+2x-8) / (x+4) ) ≤ lg 3

Так как функция lg(x) возрастающая, мы можем убрать логарифмы:

(x²+2x-8) / (x+4) ≤ 3

Перенесем 3 в левую часть:

(x²+2x-8) / (x+4) - 3 ≤ 0

Приведем к общему знаменателю:

(x²+2x-8 - 3(x+4)) / (x+4) ≤ 0

(x²+2x-8 - 3x - 12) / (x+4) ≤ 0

(x²-x-20) / (x+4) ≤ 0

Найдем корни числителя x²-x-20=0:

D = (-1)² - 4*1*(-20) = 1 + 80 = 81

x₃ = (1 - 9) / 2 = -4

x₄ = (1 + 9) / 2 = 5

Итак, мы имеем дробь: ( (x - 5)(x + 4) ) / (x + 4) ≤ 0

Заметим, что x = -4 является корнем и числителя, и знаменателя. Но по ОДЗ x > 2, поэтому x = -4 нам не подходит.

Можно сократить дробь (x+4), но только при условии, что x+4 ≠ 0, что выполняется, так как x > 2.

x - 5 ≤ 0

x ≤ 5

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ (x > 2).

x > 2 и x ≤ 5

Получаем интервал (2; 5].

Ответ: (2; 5].