lim(1+\frac{2x}{3})^{\frac{2}{3x}}\limits_{x\to 3}

Для решения данного предела необходимо воспользоваться вторым замечательным пределом:

$$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$$

Преобразуем выражение, чтобы привести его к виду второго замечательного предела:

$$\lim_{x\to 3}(1+\frac{2x}{3})^{\frac{2}{3x}} = \lim_{x\to 3}\left((1+\frac{2x}{3})^{\frac{3}{2x}}\right)^{\frac{2x}{3} \cdot \frac{2}{3x}}$$

Пусть $$y = \frac{3}{2x}$$. Тогда, когда $$x \to 3$$, $$y \to \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$.

Тогда:

$$\lim_{x\to 3}\left((1+\frac{2x}{3})^{\frac{3}{2x}}\right)^{\frac{2x}{3} \cdot \frac{2}{3x}} = \lim_{x\to 3}\left((1+\frac{1}{y})^{y}\right)^{\frac{2x}{3} \cdot \frac{2}{3x}} = e^{\lim_{x\to 3}\frac{2x}{3} \cdot \frac{2}{3x}} = e^{\lim_{x\to 3}\frac{4x}{9x}} = e^{\lim_{x\to 3}\frac{4}{9}} = e^{\frac{4}{9}}$$.

Таким образом, предел равен $$e^{\frac{4}{9}}$$.

Ответ: $$e^{\frac{4}{9}}$$.