22. lim \( \frac{n^2+\sqrt{n}-1}{2+7+12+...+(5n-3)} \)

Разбираемся:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упрощение знаменателя.

  Заметим, что знаменатель представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 2\) и разностью \(d = 5\). Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \] В нашем случае: \[ S_n = \frac{n}{2}(2(2) + (n-1)5) = \frac{n}{2}(4 + 5n - 5) = \frac{n}{2}(5n - 1) = \frac{5n^2 - n}{2} \]

• Шаг 2: Запись предела с упрощенным знаменателем.

  Теперь наш предел выглядит так: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + \sqrt{n} - 1}{\frac{5n^2 - n}{2}} \]

• Шаг 3: Деление числителя и знаменателя на \(n^2\).

  Чтобы найти предел, поделим числитель и знаменатель на \(n^2\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2} + \frac{\sqrt{n}}{n^2} - \frac{1}{n^2}}{\frac{5n^2}{2n^2} - \frac{n}{2n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^{3/2}} - \frac{1}{n^2}}{\frac{5}{2} - \frac{1}{2n}} \]

• Шаг 4: Вычисление предела.

  Когда \(n \to \infty\), дроби \(\frac{1}{n^{3/2}}\) и \(\frac{1}{n^2}\) стремятся к 0. Также \(\frac{1}{2n}\) стремится к 0. Тогда: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^{3/2}} - \frac{1}{n^2}}{\frac{5}{2} - \frac{1}{2n}} = \frac{1 + 0 - 0}{\frac{5}{2} - 0} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} \]

Ответ: \(\frac{2}{5}\)