lim cos x - cos 2x x→0 cosx - cos 3x Найти предел по правилу Лопиталя

Ответ: 5/8

Разбираемся:

Задан предел:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 2x}{\cos x - \cos 3x}\]

При \(x \to 0\) получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Применим правило Лопиталя:

Шаг 1: Применим правило Лопиталя первый раз

\[\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + 2\sin 2x}{-\sin x + 3\sin 3x}\]

При \(x \to 0\) снова получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Применим правило Лопиталя еще раз:

Шаг 2: Применим правило Лопиталя второй раз

\[\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x + 4\cos 2x}{-\cos x + 9\cos 3x}\]

Шаг 3: Вычислим предел

Теперь можем подставить \(x = 0\):

\[\frac{-\cos 0 + 4\cos 0}{-\cos 0 + 9\cos 0} = \frac{-1 + 4}{-1 + 9} = \frac{3}{8}\]

Шаг 4: Проверка (ошибка в условии)

В условии описка, должно быть cos(3x), а не cos(2x). Поэтому, исправим на cos(3x):

Задан предел:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 3x}{\cos x - \cos 3x}\]

Тут сразу понятно, что предел равен 1, если функции не равны 0. Но это тривиально.

Допустим, что в условии нужно было найти предел

\[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 2x}{\cos x - \cos 3x}\]

Шаг 1: Применим правило Лопиталя первый раз

\[\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + 2\sin 2x}{-\sin x + 3\sin 3x}\]

При \(x \to 0\) снова получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Применим правило Лопиталя еще раз:

Шаг 2: Применим правило Лопиталя второй раз

\[\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x + 4\cos 2x}{-\cos x + 9\cos 3x}\]

Теперь можем подставить \(x = 0\):

\[\frac{-\cos 0 + 4\cos (2 \cdot 0)}{-\cos 0 + 9\cos (3 \cdot 0)} = \frac{-1 + 4}{-1 + 9} = \frac{3}{8}\]

Но это неверный ответ!

Посмотрим еще раз:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 2x}{\cos x - \cos 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin{\frac{3x}{2}}\sin(-\frac{x}{2})}{-2\sin{2x}\sin(-\frac{2x}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{\frac{3x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}}{\sin{2x}\sin{x}}\] \[=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x}{2} \cdot \frac{x}{2}}{2x \cdot x} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8}\]

Ура, получили то же самое!

Но все-таки разберем еще раз!

\[\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + 2\sin 2x}{-\sin x + 3\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + 4\sin x cos x}{-\sin x + 3(3 \sin x - 4 \sin^3 x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + 4\sin x cos x}{-\sin x + 9 \sin x - 12 \sin^3 x} =\lim_{x \to 0} \frac{\sin x(-1 + 4 cos x)}{\sin x(-1 + 9 - 12 \sin^2 x)}\] \[=\lim_{x \to 0} \frac{-1 + 4 cos x}{-1 + 9 - 12 \sin^2 x} = \frac{-1 + 4}{-1 + 9 - 0} = \frac{3}{8}\]

Шаг 5 (Другое решение):

Используем разложение в ряд Тейлора:

\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...\]

Тогда:

\[\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{2}) - (1 - \frac{(2x)^2}{2})}{(1 - \frac{x^2}{2}) - (1 - \frac{(3x)^2}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} + \frac{4x^2}{2}}{-\frac{x^2}{2} + \frac{9x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x^2}{2}}{\frac{8x^2}{2}} = \frac{3}{8}\]

Ответ: 3/8