lim n² (√5+n3 - √3+ n³)

Пошаговое решение:

1. Преобразуем выражение, используя формулу разности кубов: \[a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}\] В нашем случае: \[a = \sqrt[3]{5+n^3}, \quad b = \sqrt[3]{3+n^3}\]
2. Применим формулу разности кубов: \[\sqrt[3]{5+n^3} - \sqrt[3]{3+n^3} = \frac{(5+n^3) - (3+n^3)}{(\sqrt[3]{5+n^3})^2 + \sqrt[3]{5+n^3}\sqrt[3]{3+n^3} + (\sqrt[3]{3+n^3})^2} = \frac{2}{(\sqrt[3]{5+n^3})^2 + \sqrt[3]{5+n^3}\sqrt[3]{3+n^3} + (\sqrt[3]{3+n^3})^2}\]
3. Умножим на \(n^2\): \[\lim_{n\to\infty} n^2(\sqrt[3]{5+n^3} - \sqrt[3]{3+n^3}) = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2}{(\sqrt[3]{5+n^3})^2 + \sqrt[3]{5+n^3}\sqrt[3]{3+n^3} + (\sqrt[3]{3+n^3})^2}\]
4. Вынесем \(n^3\) из-под корня: \[\sqrt[3]{5+n^3} = \sqrt[3]{n^3(5/n^3 + 1)} = n\sqrt[3]{5/n^3 + 1}\]
5. Подставим: \[\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2}{(n\sqrt[3]{5/n^3 + 1})^2 + n\sqrt[3]{5/n^3 + 1} \cdot n\sqrt[3]{3/n^3 + 1} + (n\sqrt[3]{3/n^3 + 1})^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2}{n^2((\sqrt[3]{5/n^3 + 1})^2 + \sqrt[3]{5/n^3 + 1}\sqrt[3]{3/n^3 + 1} + (\sqrt[3]{3/n^3 + 1})^2)}\]
6. Сократим \(n^2\): \[\lim_{n\to\infty} \frac{2}{(\sqrt[3]{5/n^3 + 1})^2 + \sqrt[3]{5/n^3 + 1}\sqrt[3]{3/n^3 + 1} + (\sqrt[3]{3/n^3 + 1})^2}\]
7. При \(n \to \infty\), \(\frac{5}{n^3} \to 0\) и \(\frac{3}{n^3} \to 0\): \[\lim_{n\to\infty} \frac{2}{(\sqrt[3]{0 + 1})^2 + \sqrt[3]{0 + 1}\sqrt[3]{0 + 1} + (\sqrt[3]{0 + 1})^2} = \frac{2}{1^2 + 1 \cdot 1 + 1^2} = \frac{2}{1 + 1 + 1} = \frac{2}{3}\]

Ответ: \(\frac{2}{3}\)