lim n√3n+1+√81n4 - n² + 1 100 (n+n) √5-n+n²

Разбираемся с пределами! Смотри, как это работает:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем выражение под знаком предела.
   В числителе выделим главный член в каждом слагаемом:
   \( n \cdot \sqrt{3n} + \sqrt{81n^4 - n^2 + 1} \)
   При больших \( n \):
   \( \sqrt{3n} \approx \sqrt{3} \cdot n^{1/2} \)
   \( \sqrt{81n^4 - n^2 + 1} \approx \sqrt{81n^4} = 9n^2 \)
   Тогда числитель приближенно равен:
   \( n \cdot \sqrt{3} \cdot n^{1/2} + 9n^2 = \sqrt{3} \cdot n^{3/2} + 9n^2 \)
   Главный член числителя: \( 9n^2 \)
2. Шаг 2: Преобразуем знаменатель:
   \( (n + \sqrt[3]{n}) \cdot \sqrt{5 - n + n^2} \)
   При больших \( n \):
   \( n + \sqrt[3]{n} \approx n \)
   \( \sqrt{5 - n + n^2} \approx \sqrt{n^2} = n \)
   Тогда знаменатель приближенно равен:
   \( n \cdot n = n^2 \)
3. Шаг 3: Вычислим предел отношения главных членов:
   \( \lim_{n \to \infty} \frac{9n^2}{n^2} \)
4. Шаг 4: Сокращаем \( n^2 \) в числителе и знаменателе:
   \( \lim_{n \to \infty} \frac{9n^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} 9 = 9 \)

Ответ: 9