lim (1+1/2x)^4x x->∞

Ответ: e²

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразование предела

\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{4x}\]

• Шаг 2: Приведение к виду второго замечательного предела

Второй замечательный предел имеет вид: \[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e\] Чтобы воспользоваться этим, сделаем замену: пусть n = 2x. Тогда: \[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{4x} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}\]

• Шаг 3: Дальнейшее преобразование

Теперь можно записать предел как: \[\lim_{n \to \infty} \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}\]

• Шаг 4: Применение второго замечательного предела

\[\left(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2} = e^{2}\]

Ответ: e²