4) lim 5x⁴-x³+2x x→∞ x⁴-8x³+1

Для нахождения предела функции при стремлении переменной к бесконечности, необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной, содержащуюся в знаменателе. В данном случае, наивысшая степень переменной в знаменателе равна $$x^4$$.

1. Разделим числитель и знаменатель на $$x^4$$: $$lim_{x\to \infty} \frac{5x^4-x^3+2x}{x^4-8x^3+1} = lim_{x\to \infty} \frac{\frac{5x^4}{x^4}-\frac{x^3}{x^4}+\frac{2x}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4}-\frac{8x^3}{x^4}+ \frac{1}{x^4}}$$ $$= lim_{x\to \infty} \frac{5-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^3}}{1-\frac{8}{x}+\frac{1}{x^4}}$$
2. Найдем предел каждой дроби при $$x$$ стремящемся к бесконечности: $$lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$$ $$lim_{x\to \infty} \frac{2}{x^3} = 0$$ $$lim_{x\to \infty} \frac{8}{x} = 0$$ $$lim_{x\to \infty} \frac{1}{x^4} = 0$$
3. Подставим полученные значения в предел: $$lim_{x\to \infty} \frac{5-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^3}}{1-\frac{8}{x}+\frac{1}{x^4}} = \frac{5-0+0}{1-0+0} = \frac{5}{1} = 5$$

Ответ: 5