22. 1) lim x→∞ x⁵+x⁶/x³+x⁴; 2) lim x→∞ x⁴-x³+1/x³+2x²+x. 23. 1) lim x→∞ (√(x²-x)-x); 2) lim x→∞ (√(x² + 5x)-x).

Задание 22

• 1) lim x→∞ (x⁵ + x⁶) / (x³ + x⁴)

Делим числитель и знаменатель на x⁴ (наивысшая степень знаменателя):

\[\lim_{x \to \infty} \frac{x^5 + x^6}{x^3 + x^4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^5}{x^4} + \frac{x^6}{x^4}}{\frac{x^3}{x^4} + \frac{x^4}{x^4}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + x^2}{\frac{1}{x} + 1}\]

При x → ∞ числитель стремится к ∞, знаменатель стремится к 1. Следовательно, предел равен ∞.

• Ответ: ∞

• 2) lim x→∞ (x⁴ - x³ + 1) / (x³ + 2x² + x)

Делим числитель и знаменатель на x³ (наивысшая степень знаменателя):

\[\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - x^3 + 1}{x^3 + 2x^2 + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^4}{x^3} - \frac{x^3}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} + \frac{x}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x - 1 + \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}\]

При x → ∞ числитель стремится к ∞, знаменатель стремится к 1. Следовательно, предел равен ∞.

• Ответ: ∞

Задание 23

• 1) lim x→∞ (√(x² - x) - x)

Умножаем и делим на сопряженное выражение:

\[\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 - x} - x)(\sqrt{x^2 - x} + x)}{\sqrt{x^2 - x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x - x^2}{\sqrt{x^2 - x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2 - x} + x}\]

Делим числитель и знаменатель на x:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2 - x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1}\]

При x → ∞, 1/x → 0:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1 - 0} + 1} = \frac{-1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}\]

• Ответ: -1/2

• 2) lim x→∞ (√(x² + 5x) - x)

Умножаем и делим на сопряженное выражение:

\[\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 5x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 5x} - x)(\sqrt{x^2 + 5x} + x)}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 5x - x^2}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2 + 5x} + x}\]

Делим числитель и знаменатель на x:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}\]

При x → ∞, 5/x → 0:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{5}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{5}{\sqrt{1} + 1} = \frac{5}{1 + 1} = \frac{5}{2}\]

• Ответ: 5/2