lim_{x->x0} (2x^2 + 5x - 7) / (3x^2 + x - 4); x0 = infinity.

Решение:

Чтобы найти предел функции при \( x \) стремящемся к бесконечности, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень \( x \), которая в данном случае равна \( x^2 \).

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 5x - 7}{3x^2 + x - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} - \frac{7}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} - \frac{4}{x^2}} $$

Упростим выражение:

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{x} - \frac{7}{x^2}}{3 + \frac{1}{x} - \frac{4}{x^2}} $$

Когда \( x \) стремится к бесконечности, члены вида \( \frac{c}{x^n} \) (где \( c \) — константа, \( n > 0 \)) стремятся к нулю.

$$ = \frac{2 + 0 - 0}{3 + 0 - 0} = \frac{2}{3} $$

Ответ: \( \frac{2}{3} \).