7*. Линейная скорость точки на ободе вращающегося колеса равна ✓2 м/с. Точка, расположенная на 10 см ближе к оси, имеет линейную скорость 1 м/с. Определите угловые скорости этих точек, частоты и периоды их обращения.

Решение

Давай разберем эту задачу вместе. Нам даны линейные скорости двух точек на вращающемся колесе и расстояние между ними. Наша задача — найти угловые скорости, частоты и периоды обращения этих точек.

1. Определение угловых скоростей

   Угловая скорость \(\omega\) связана с линейной скоростью \(v\) и радиусом \(r\) соотношением:

   \[ v = \omega r \]

   Таким образом, угловая скорость равна:

   \[ \omega = \frac{v}{r} \]
2. Угловая скорость первой точки

   Пусть радиус колеса равен \(R\). Тогда для точки на ободе колеса:

   \[ v_1 = 2 \text{ м/с}, \quad r_1 = R \] \[ \omega_1 = \frac{v_1}{r_1} = \frac{2}{R} \]
3. Угловая скорость второй точки

   Для точки, расположенной на 10 см (0.1 м) ближе к оси:

   \[ v_2 = 1 \text{ м/с}, \quad r_2 = R - 0.1 \] \[ \omega_2 = \frac{v_2}{r_2} = \frac{1}{R - 0.1} \]
4. Угловая скорость всего колеса одинакова

   Так как колесо вращается как одно целое, угловая скорость у всех точек одинакова:

   \[ \omega_1 = \omega_2 \]

   Тогда:

   \[ \frac{2}{R} = \frac{1}{R - 0.1} \]

   Решим это уравнение для нахождения \(R\):

   \[ 2(R - 0.1) = R \] \[ 2R - 0.2 = R \] \[ R = 0.2 \text{ м} \]
5. Вычисление угловой скорости

   Теперь мы можем найти угловую скорость:

   \[ \omega = \frac{2}{0.2} = 10 \text{ рад/с} \]
6. Определение частоты

   Частота \(f\) связана с угловой скоростью соотношением:

   \[ f = \frac{\omega}{2\pi} \]

   Таким образом:

   \[ f = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \approx 1.59 \text{ Гц} \]
7. Определение периода

   Период \(T\) связан с частотой соотношением:

   \[ T = \frac{1}{f} \]

   Таким образом:

   \[ T = \frac{1}{\frac{5}{\pi}} = \frac{\pi}{5} \approx 0.628 \text{ с} \]

Ответ: Угловая скорость \(\omega = 10 \text{ рад/с}\), частота \(f \approx 1.59 \text{ Гц}\), период \(T \approx 0.628 \text{ с}\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!