Лодка может проплыть 15 км по течению реки и еще 6 км против течения за то же время, за какое плот может проплыть 5 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8 км/ч.

Пусть скорость течения реки равна (x) км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна ((8 + x)) км/ч, а скорость лодки против течения равна ((8 - x)) км/ч.

Время, за которое лодка проплывает 15 км по течению, равно $$\frac{15}{8+x}$$ часов.

Время, за которое лодка проплывает 6 км против течения, равно $$\frac{6}{8-x}$$ часов.

Общее время, затраченное лодкой, составляет $$\frac{15}{8+x} + \frac{6}{8-x}$$ часов.

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть (x) км/ч. Время, за которое плот проплывает 5 км, равно $$\frac{5}{x}$$ часов.

По условию задачи, время, затраченное лодкой, равно времени, за которое плывет плот. Следовательно, можем составить уравнение:

$$\frac{15}{8+x} + \frac{6}{8-x} = \frac{5}{x}$$

Решим это уравнение:

$$\frac{15(8-x) + 6(8+x)}{(8+x)(8-x)} = \frac{5}{x}$$

$$\frac{120 - 15x + 48 + 6x}{64 - x^2} = \frac{5}{x}$$

$$\frac{168 - 9x}{64 - x^2} = \frac{5}{x}$$

$$x(168 - 9x) = 5(64 - x^2)$$

$$168x - 9x^2 = 320 - 5x^2$$

$$4x^2 - 168x + 320 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 4:

$$x^2 - 42x + 80 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-42)^2 - 4 cdot 1 cdot 80 = 1764 - 320 = 1444$$

Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{42 + \sqrt{1444}}{2} = \frac{42 + 38}{2} = \frac{80}{2} = 40$$

$$x_2 = \frac{42 - \sqrt{1444}}{2} = \frac{42 - 38}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Так как скорость течения реки не может быть больше собственной скорости лодки (8 км/ч), то (x = 40) не подходит. Следовательно, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч