38.10. Лодка проплыла 15 км по течению реки и вернулась назад, затратив на обратный путь на 1 ч больше. Найдите скорость лодки по течению реки, если скорость течения составляет 2 км/ч.

Пусть (v) – собственная скорость лодки (км/ч). Скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна (v + 2) км/ч, а против течения – (v - 2) км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно (\frac{15}{v+2}) часов, а время, затраченное на путь против течения, равно (\frac{15}{v-2}) часов. По условию задачи, время на обратный путь (против течения) на 1 час больше, чем время на путь по течению. Составим уравнение: \[\frac{15}{v-2} - \frac{15}{v+2} = 1\] Умножим обе части уравнения на ((v-2)(v+2)) или (v^2 - 4): \[15(v+2) - 15(v-2) = v^2 - 4\] Раскроем скобки: \[15v + 30 - 15v + 30 = v^2 - 4\] Упростим: \[60 = v^2 - 4\] Перенесем 60 в правую часть: \[v^2 - 64 = 0\] Это разность квадратов, разложим на множители: \[(v - 8)(v + 8) = 0\] Получаем два возможных решения: (v = 8) или (v = -8). Так как скорость не может быть отрицательной, то (v = 8) км/ч. Значит, собственная скорость лодки равна 8 км/ч. Скорость лодки по течению равна (8 + 2 = 10) км/ч. Ответ: 10 км/ч