5.* Лодка проплывает по течению реки 1,6 км за 12 мин. Найдите скорость течения и скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 0,125 скорости лодки по течению.

Определим скорости лодки и течения реки.

Дано:

$$S=1,6 \text{ км}$$ $$t=12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = 0,2 \text{ ч}$$ $$v_\text{течения} = 0,125v_\text{лодки}$$

Решение:

1. Обозначим скорость лодки в стоячей воде за $$v_\text{лодки}$$, а скорость течения реки за $$v_\text{течения}$$. Тогда скорость лодки по течению реки будет равна сумме этих скоростей:$$v_\text{по течению} = v_\text{лодки} + v_\text{течения}$$.
2. Скорость равна отношению расстояния ко времени, поэтому можем записать уравнение: $$v_\text{лодки} + v_\text{течения} = \frac{S}{t} = \frac{1,6}{0,2} = 8 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$
3. По условию, $$v_\text{течения} = 0,125v_\text{лодки}$$. Подставим это в уравнение из второго пункта: $$v_\text{лодки} + 0,125v_\text{лодки} = 8$$ $$1,125v_\text{лодки} = 8$$ $$v_\text{лодки} = \frac{8}{1,125} = \frac{8}{\frac{9}{8}} = \frac{8 \cdot 8}{9} = \frac{64}{9} \approx 7,11 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$
4. Теперь найдем скорость течения реки: $$v_\text{течения} = 0,125v_\text{лодки} = 0,125 \cdot \frac{64}{9} = \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{9} = \frac{8}{9} \approx 0,89 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$

Ответ: скорость лодки в стоячей воде составляет $$\approx 7,11 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$, скорость течения реки составляет $$\approx 0,89 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$.