Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
log₂ₓ₋₃ (2x² - x + 1) - log₂ₓ₋₃ (x² + 4x - 5) ≤ 0
Ответ:
Краткое пояснение: Решим логарифмическое неравенство, используя свойства логарифмов и учитывая ограничения, накладываемые на основание и аргументы логарифмов.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма разности: \[\log_{2x-3} \frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 5} \le 0\]
- Шаг 2: Учитываем, что \(\log_{a} b \le 0\) эквивалентно \(0 < b \le 1\) при \(a > 1\) или \(b \ge 1\) при \(0 < a < 1\). Для этого необходимо рассмотреть два случая:
- Случай 1: \(2x - 3 > 1\), то есть \(x > 2\) и \(0 < \frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 5} \le 1\)
- Случай 2: \(0 < 2x - 3 < 1\), то есть \(\frac{3}{2} < x < 2\) и \(\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 5} \ge 1\)
- Шаг 3: Решим неравенство \(\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 5} \le 1\):
\[\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 5} - 1 \le 0 \Rightarrow \frac{2x^2 - x + 1 - (x^2 + 4x - 5)}{x^2 + 4x - 5} \le 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 4x - 5} \le 0\]
Разложим на множители числитель и знаменатель:
\[\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 1)(x + 5)} \le 0\] - Шаг 4: Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки \(-5, 1, 2, 3\) и определим знаки на каждом интервале.
Интервалы: \((-\infty; -5), (-5; 1), (1; 2), (2; 3), (3; +\infty)\).
Определяем знаки: +, -, +, -, +.
Решением неравенства является объединение интервалов: \((-5; 1) \cup [2; 3]\). - Шаг 5: Решим неравенство \(\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 5} \ge 1\):
\[\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 1)(x + 5)} \ge 0\]
Решением является объединение интервалов: \((-\infty; -5) \cup (1; 2] \cup [3; +\infty)\). - Шаг 6: Учтем условия \(x > 2\) и \(\frac{3}{2} < x < 2\) и ограничения на область определения логарифма: \(2x - 3 > 0\), \(2x - 3
e 1\), \(2x^2 - x + 1 > 0\) и \(x^2 + 4x - 5 > 0\).
Аргументы всегда положительны, так как \(2x^2 - x + 1 = 2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8} > 0\) и \(x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1) > 0\) при \(x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)\). - Шаг 7: Сопоставим полученные результаты и найдем окончательное решение.
- Для случая 1 (\(x > 2\)): \(x \in (2; 3]\).
- Для случая 2 (\(\frac{3}{2} < x < 2\)): \(x \in (1.5; 2)\) нет решений.
Ответ: x ∈ (2; 3]
