4. 3 log₂ 13 I log₁₅ ³√225. + log₂ 22,5.

Решим данное выражение по действиям, используя свойства логарифмов.

1) Рассмотрим выражение log₁₅ ³√225. Преобразуем корень и основание логарифма:

$$log_{15} \sqrt[3]{225} = log_{15} (15^2)^{\frac{1}{3}} = log_{15} 15^{\frac{2}{3}}$$

Используя свойство логарифма $$log_a a^b = b$$, получаем:

$$log_{15} 15^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$$

2) Рассмотрим выражение log₂ 13 + log₂ 22,5. Используем свойство логарифмов $$log_a x + log_a y = log_a (x \cdot y)$$, получаем:

$$log_2 13 + log_2 22.5 = log_2 (13 \cdot 22.5) = log_2 (292.5) = log_2 \frac{585}{2} = log_2 585 - log_2 2$$

3) Теперь сложим все части выражения:

$$3log_2 13 + log_{15} \sqrt[3]{225} + log_2 22.5 = 3log_2 13 + \frac{2}{3} + log_2 (13 \cdot 22.5)$$ $$= 3log_2 13 + \frac{2}{3} + log_2 292.5 = 3log_2 13 + \frac{2}{3} + log_2 \frac{585}{2} = 3log_2 13 + \frac{2}{3} + log_2 585 - log_2 2$$

Что можно упростить, применяя правило $$3log_a b = log_a b^3$$

$$log_2 13^3 + log_2 22.5 + \frac{2}{3} = log_2 (13^3 \cdot 22.5) + \frac{2}{3} = log_2 (2197 \cdot 22.5) + \frac{2}{3} = log_2 (49432.5) + \frac{2}{3}$$

Выражение не упрощается до целого числа. Возможно, в условии допущена ошибка.

Предположим, что в условии было log₂ 1,5 вместо log₂ 22,5.

Тогда выражение будет выглядеть так:

$$3log_2 13 + \frac{2}{3} + log_2 1.5 = log_2 13^3 + log_2 1.5 + \frac{2}{3} = log_2 (2197 \cdot 1.5) + \frac{2}{3}$$ $$= log_2 3295.5 + \frac{2}{3} = log_2 \frac{6591}{2} + \frac{2}{3} = log_2 6591 - log_2 2 + \frac{2}{3}$$

Это тоже не упрощается до целого числа.

Предположим, что было не 3log₂ 13, а log₂ 13, и не +, а -. Тогда выражение примет вид:

$$log_2 13 - \frac{2}{3} + log_2 22.5 = log_2 13 + log_2 22.5 - \frac{2}{3} = log_2 (13 \cdot 22.5) - \frac{2}{3} = log_2 292.5 - \frac{2}{3}$$

Это выражение тоже не упрощается до целого числа.

Если в условии опечатка, и вместо log₂ 22,5 стоит log₂ (1/169), то:

$$3log_2 13 + \frac{2}{3} + log_2 \frac{1}{169} = log_2 13^3 + log_2 \frac{1}{169} + \frac{2}{3} = log_2 2197 + log_2 \frac{1}{169} + \frac{2}{3}$$ $$= log_2 \frac{2197}{169} + \frac{2}{3} = log_2 13 + \frac{2}{3}$$

Это тоже не упрощается до целого числа.

Если было так:

$$3log_2 2 + \frac{2}{3} + log_{15} (225)^{\frac{1}{3}} = 3 + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 3 + \frac{4}{3} = \frac{9+4}{3} = \frac{13}{3}$$

Если всё-таки имелось в виду:

$$log_{15} \sqrt[3]{225} = \frac{2}{3}$$ $$3log_2 13 + log_2 22.5$$

И надо было найти только последнее выражение:

$$3log_2 13 + log_2 22.5 = log_2 13^3 + log_2 22.5 = log_2 2197 + log_2 22.5 = log_2 (2197 \cdot 22.5) = log_2 (49432.5)$$

Тогда ответ:

Ответ: log₂ 49432.5