2 log₄(x²-4) - log₀.₅(x-2)/(x+2) ≥ -3

Привет! Разбираемся с логарифмическим неравенством! Логика такая: приводим все к одному основанию и упрощаем выражение.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем первое слагаемое:
   Используем свойство логарифма: \( a \cdot \log_b(x) = \log_b(x^a) \)
   \[ 2 \log_4(x^2-4) = \log_4((x^2-4)^2) \]
2. Преобразуем второе слагаемое:
   Заметим, что 0.5 = 1/2 = 2⁻¹ и используем свойство \( \log_{a^{-1}}(x) = -\log_a(x) \)
   \[ -\log_{0.5}\left(\frac{x-2}{x+2}\right) = \log_2\left(\frac{x-2}{x+2}\right) \]
3. Приведем к одному основанию:
   Заметим, что 4 = 2², поэтому \( \log_4(x) = \frac{1}{2} \log_2(x) \), тогда:
   \[ \log_4((x^2-4)^2) = \frac{1}{2} \log_2((x^2-4)^2) = \log_2(\sqrt{(x^2-4)^2}) = \log_2(|x^2-4|) \]
4. Перепишем исходное неравенство:
   \[ \log_2(|x^2-4|) + \log_2\left(\frac{x-2}{x+2}\right) \ge -3 \]
5. Упростим левую часть:
   Используем свойство \( \log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(x \cdot y) \)
   \[ \log_2\left(|x^2-4| \cdot \frac{x-2}{x+2}\right) \ge -3 \]
6. Определим ОДЗ:
   ОДЗ: \( x^2 - 4 > 0 \) и \( \frac{x-2}{x+2} > 0 \)
   Решаем \( x^2 - 4 > 0 \):
   \[ x^2 > 4 \Rightarrow x < -2 \text{ или } x > 2 \]
   Решаем \( \frac{x-2}{x+2} > 0 \):
   \[ x < -2 \text{ или } x > 2 \]
7. Избавимся от логарифма:
   \[ |x^2-4| \cdot \frac{x-2}{x+2} \ge 2^{-3} \Rightarrow |x^2-4| \cdot \frac{x-2}{x+2} \ge \frac{1}{8} \]
8. Упростим выражение с учетом ОДЗ:
   Так как \( x < -2 \) или \( x > 2 \), то \( x^2 - 4 > 0 \), следовательно, \( |x^2-4| = x^2-4 \)
   \[ (x^2-4) \cdot \frac{x-2}{x+2} \ge \frac{1}{8} \Rightarrow (x-2)(x+2) \cdot \frac{x-2}{x+2} \ge \frac{1}{8} \Rightarrow (x-2)^2 \ge \frac{1}{8} \]
9. Решаем неравенство:
   \[ (x-2)^2 \ge \frac{1}{8} \Rightarrow |x-2| \ge \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]
   Рассмотрим два случая:
   а) \( x - 2 \ge \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow x \ge 2 + \frac{\sqrt{2}}{4} \)
   б) \( x - 2 \le -\frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow x \le 2 - \frac{\sqrt{2}}{4} \)
10. Учитываем ОДЗ:
    Так как \( x < -2 \) или \( x > 2 \), то решением будут:
    \[ x \ge 2 + \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 2.35 \]

Ответ: \( x \ge 2 + \frac{\sqrt{2}}{4} \)