2log₄(3x-5)=log₂(15-x) | nlogₐb=logₐbⁿ

Смотри, тут всё просто: нам нужно решить логарифмическое уравнение. Логика такая: приводим все логарифмы к одному основанию и решаем уравнение относительно аргументов логарифмов.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифмов: \(2log_4(3x-5) = log_4(3x-5)^2\).
2. Приведем логарифмы к одному основанию. Заметим, что \(4 = 2^2\), поэтому \(log_4(3x-5)^2 = log_{2^2}(3x-5)^2\).
3. Используем свойство изменения основания логарифма: \(log_{a^b}c = \frac{1}{b}log_ac\). Тогда, \(log_{2^2}(3x-5)^2 = \frac{1}{2}log_2(3x-5)^2\).
4. Используем свойство логарифма степени: \(\frac{1}{2}log_2(3x-5)^2 = log_2\sqrt{(3x-5)^2} = log_2|3x-5|\).
5. Теперь уравнение имеет вид: \(log_2|3x-5| = log_2(15-x)\).
6. Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять аргументы: \(|3x-5| = 15-x\).
7. Рассмотрим два случая:

1. Если \(3x-5 \ge 0\) (то есть, \(x \ge \frac{5}{3}\)), то \(3x-5 = 15-x\). Решаем это уравнение: \(4x = 20\), \(x = 5\). Проверяем условие \(x \ge \frac{5}{3}\): \(5 \ge \frac{5}{3}\) - верно.
2. Если \(3x-5 < 0\) (то есть, \(x < \frac{5}{3}\)), то \(-(3x-5) = 15-x\). Решаем это уравнение: \(-3x+5 = 15-x\), \(-2x = 10\), \(x = -5\). Проверяем условие \(x < \frac{5}{3}\): \(-5 < \frac{5}{3}\) - верно.

8. Проверим найденные значения x на исходном уравнении:

1. Проверка для \(x = 5\):
   • \(2log_4(3(5)-5) = 2log_4(10)\)
   • \(log_2(15-5) = log_2(10)\)
   Нужно упростить \(2log_4(10)\). \(2log_4(10) = log_4(100) = log_{2^2}(100) = \frac{1}{2}log_2(100) = \frac{1}{2}log_2(10^2) = log_2(10)\).Значит, \(x=5\) - решение.
2. Проверка для \(x = -5\):
   • \(2log_4(3(-5)-5) = 2log_4(-20)\)
   Так как логарифм от отрицательного числа не существует, \(x=-5\) не является решением.

Ответ: x = 5