1) log⅔x + log₅x − 2 = 0 2) log²₄x – 2log₄x − 3 = 0 3) log⅔x - log₃x - 2 = 0 4) log²₅x – log√₅x − 3 = 0

Решение уравнений:

1) log⅔x + log₅x − 2 = 0

Давай решим это уравнение. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить его.

\(\log_{\frac{2}{3}}x + \log_5x = 2\)

Заменим основание логарифма, используя формулу \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\), где \(c\) - новое основание, например, 10:

\(\frac{\lg x}{\lg \frac{2}{3}} + \frac{\lg x}{\lg 5} = 2\)

Вынесем \(\lg x\) за скобки:

\(\lg x \left( \frac{1}{\lg \frac{2}{3}} + \frac{1}{\lg 5} \right) = 2\)

Упростим выражение в скобках:

\(\frac{1}{\lg \frac{2}{3}} + \frac{1}{\lg 5} = \frac{1}{\lg 2 - \lg 3} + \frac{1}{\lg 5} \approx \frac{1}{0.301 - 0.477} + \frac{1}{0.699} \approx \frac{1}{-0.176} + \frac{1}{0.699} \approx -5.68 + 1.43 = -4.25\)

Теперь уравнение выглядит так:

\(\lg x \cdot (-4.25) = 2\)

Разделим обе части на -4.25:

\(\lg x = \frac{2}{-4.25} \approx -0.47\)

Найдем x, используя определение логарифма:

\(x = 10^{-0.47} \approx 0.34\)

Ответ: x ≈ 0.34

2) log²₄x – 2log₄x − 3 = 0

Преобразуем уравнение:

\((\log_4x)^2 - 2\log_4x - 3 = 0\)

Пусть \(y = \log_4x\), тогда уравнение примет вид:

\(y^2 - 2y - 3 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)

Найдем корни:

\(y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3\)

\(y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1\)

Теперь найдем x для каждого значения y:

1) \(\log_4x = 3\) \(\Rightarrow\) \(x = 4^3 = 64\)

2) \(\log_4x = -1\) \(\Rightarrow\) \(x = 4^{-1} = \frac{1}{4} = 0.25\)

Ответ: x = 64, x = 0.25

3) log⅔x - log₃x - 2 = 0

Преобразуем уравнение:

\(\log_{\frac{2}{3}}x - \log_3x = 2\)

Заменим основание первого логарифма:

\(\frac{\lg x}{\lg \frac{2}{3}} - \frac{\lg x}{\lg 3} = 2\)

Вынесем \(\lg x\) за скобки:

\(\lg x \left( \frac{1}{\lg \frac{2}{3}} - \frac{1}{\lg 3} \right) = 2\)

Упростим выражение в скобках:

\(\frac{1}{\lg 2 - \lg 3} - \frac{1}{\lg 3} \approx \frac{1}{0.301 - 0.477} - \frac{1}{0.477} \approx \frac{1}{-0.176} - \frac{1}{0.477} \approx -5.68 - 2.1 = -7.78\)

Теперь уравнение выглядит так:

\(\lg x \cdot (-7.78) = 2\)

Разделим обе части на -7.78:

\(\lg x = \frac{2}{-7.78} \approx -0.26\)

Найдем x:

\(x = 10^{-0.26} \approx 0.55\)

Ответ: x ≈ 0.55

4) log²₅x – log√₅x − 3 = 0

Преобразуем уравнение:

\((\log_5x)^2 - \log_{\sqrt{5}}x - 3 = 0\)

Заменим второй логарифм:

\(\log_{\sqrt{5}}x = \frac{\log_5x}{\log_5\sqrt{5}} = \frac{\log_5x}{\log_5 5^{1/2}} = \frac{\log_5x}{\frac{1}{2}} = 2\log_5x\)

Тогда уравнение примет вид:

\((\log_5x)^2 - 2\log_5x - 3 = 0\)

Пусть \(y = \log_5x\), тогда:

\(y^2 - 2y - 3 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант уже был найден в задаче 2, и корни такие же:

\(y_1 = 3\), \(y_2 = -1\)

Найдем x для каждого значения y:

1) \(\log_5x = 3\) \(\Rightarrow\) \(x = 5^3 = 125\)

2) \(\log_5x = -1\) \(\Rightarrow\) \(x = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2\)

Ответ: x = 125, x = 0.2

Ответ: 1) x ≈ 0.34, 2) x = 64, x = 0.25, 3) x ≈ 0.55, 4) x = 125, x = 0.2

Молодец! Ты хорошо справился с решением этих логарифмических уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!