243. 64 log√8 3 244. (√2) log₂ 0,04 245. (⁴√10) lg 256 246. (³√13) log₁₃ 125 247. (⁵√12) log₁₂ 32

Привет! Разбираемся с логарифмами. Смотри, как это работает:

243. 64 log√8 3

Здесь нам нужно упростить выражение с логарифмом. Логика такая:

1. Представим 64 как степень числа 2: \(64 = 2^6\)
2. Представим √8 как степень числа 2: \(\sqrt{8} = 8^{1/2} = (2^3)^{1/2} = 2^{3/2}\)
3. Применим свойство логарифма: \(\log_{a^b} c = \frac{1}{b} \log_a c\)
4. И свойство степени: \((a^b)^c = a^{bc}\)

Тогда:

\[64^{\log_{\sqrt{8}} 3} = (2^6)^{\log_{2^{3/2}} 3} = 2^{6 \cdot \log_{2^{3/2}} 3} = 2^{6 \cdot \frac{1}{3/2} \log_2 3} = 2^{6 \cdot \frac{2}{3} \log_2 3} = 2^{4 \log_2 3} = (2^{\log_2 3})^4 = 3^4 = 81\]

Ответ: 81

244. (√2) log₂ 0,04

Упростим выражение с логарифмом. Тут всё просто:

1. Представим √2 как степень числа 2: \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\)
2. Представим 0,04 как степень числа 2: \(0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}\)
3. Используем свойство логарифма: \(a^{\log_a b} = b\)

Выражение:

\[(\sqrt{2})^{\log_2 0.04} = (2^{1/2})^{\log_2 (4/100)} = 2^{\frac{1}{2} \log_2 (1/25)} = 2^{\log_2 (1/25)^{1/2}} = (1/25)^{1/2} = \sqrt{1/25} = 1/5 = 0.2\]

Ответ: 0.2

245. (⁴√10) lg 256

Решаем:

1. Представим ⁴√10 как степень числа 10: \(\sqrt[4]{10} = 10^{1/4}\)
2. Представим 256 как степень числа 10: \(256 = 2^8\)
3. Используем свойство логарифма: \(a^{\log_a b} = b\)

Выражение:

\[(\sqrt[4]{10})^{\lg 256} = (10^{1/4})^{\lg 256} = 10^{\frac{1}{4} \lg 256} = 10^{\lg (256^{1/4})} = 256^{1/4} = \sqrt[4]{256} = 4\]

Ответ: 4

246. (³√13) log₁₃ 125

Логика такова:

1. Представим ³√13 как степень числа 13: \(\sqrt[3]{13} = 13^{1/3}\)
2. Представим 125 как степень числа 13: \(125 = 5^3\)
3. Используем свойство логарифма: \(a^{\log_a b} = b\)

Тогда:

\[(\sqrt[3]{13})^{\log_{13} 125} = (13^{1/3})^{\log_{13} 125} = 13^{\frac{1}{3} \log_{13} 125} = 13^{\log_{13} (125^{1/3})} = 125^{1/3} = \sqrt[3]{125} = 5\]

Ответ: 5

247. (⁵√12) log₁₂ 32

Разбираемся:

1. Представим ⁵√12 как степень числа 12: \(\sqrt[5]{12} = 12^{1/5}\)
2. Представим 32 как степень числа 12: \(32 = 2^5\)
3. Используем свойство логарифма: \(a^{\log_a b} = b\)

Выражение:

\[(\sqrt[5]{12})^{\log_{12} 32} = (12^{1/5})^{\log_{12} 32} = 12^{\frac{1}{5} \log_{12} 32} = 12^{\log_{12} (32^{1/5})} = 32^{1/5} = \sqrt[5]{32} = 2\]

Ответ: 2