3. log√3 12 ⋅ log2√3 1/9 6. log125 27 / log5 20 + log20 (133 1/3) 9. 9 log8 6 ⋅ (0,5-log36 24)

3. log√3 12 ⋅ log2√3 (1/9)

Для решения данного выражения, упростим его, используя свойства логарифмов:

1. $$log_{\sqrt{3}}12 = log_{3^{1/2}}12 = 2log_312 = 2(log_33 + log_34) = 2(1+log_34)$$
2. $$log_{2\sqrt{3}}\frac{1}{9} = log_{2\sqrt{3}}3^{-2} = -2log_{2\sqrt{3}}3 = -2\frac{log_33}{log_32\sqrt{3}} = -2\frac{1}{log_32 + log_33^{1/2}} = -2\frac{1}{log_32 + \frac{1}{2}}$$
3. Пусть $$log_32 = x$$, тогда выражение примет вид: $$2(1+log_34) \cdot -2\frac{1}{log_32 + \frac{1}{2}} = 2(1+2log_32) \cdot -2\frac{1}{log_32 + \frac{1}{2}} = 2(1+2x) \cdot -2\frac{1}{x + \frac{1}{2}} = 2(1+2x) \cdot -2\frac{1}{\frac{2x+1}{2}} = 2(1+2x) \cdot -2\frac{2}{2x+1} = 2(1+2x) \cdot \frac{-4}{2x+1} = -8$$

Ответ: -8

6. log125 27 / log5 20 + log20 (133 1/3)

Для решения данного выражения, упростим его, используя свойства логарифмов:

1. $$\frac{log_{125}27}{log_520} = \frac{log_{5^3}3^3}{log_520} = \frac{\frac{3}{3}log_53}{log_520} = \frac{log_53}{log_520}$$
2. $$log_{20}(133\frac{1}{3}) = log_{20}(\frac{400}{3}) = log_{20}400 - log_{20}3 = log_{20}20^2 - log_{20}3 = 2 - log_{20}3$$
3. $$\frac{log_53}{log_520} + 2 - log_{20}3 = \frac{log_53}{log_5(5\cdot4)} + 2 - \frac{log_53}{log_520} = \frac{log_53}{log_55 + log_54} + 2 - \frac{log_53}{log_520} = \frac{log_53}{1 + log_54} + 2 - \frac{log_53}{log_520}$$
4. Пусть $$log_53 = a$$ и $$log_54 = b$$, тогда выражение примет вид: $$\frac{a}{1+b} + 2 - \frac{a}{1+b} = 2$$

Ответ: 2

9. 9 log8 6 ⋅ (0,5-log36 24)

Для решения данного выражения, упростим его, используя свойства логарифмов:

1. $$9log_86 = 9\frac{log_26}{log_28} = 9\frac{log_2(2\cdot3)}{3} = 3(log_22 + log_23) = 3(1+log_23)$$
2. $$0.5 - log_{36}24 = \frac{1}{2} - log_{36}24 = log_{36}36^{1/2} - log_{36}24 = log_{36}6 - log_{36}24 = log_{36}\frac{6}{24} = log_{36}\frac{1}{4} = log_{36}4^{-1} = -log_{36}4$$
3. $$-log_{36}4 = -\frac{log_64}{log_636} = -\frac{log_64}{2} = -\frac{1}{2}log_64 = -\frac{1}{2}log_62^2 = -log_62$$
4. $$3(1+log_23) \cdot (-log_62) = -3(1+log_23) \cdot log_62 = -3(1+log_23) \cdot \frac{1}{log_26} = -3(1+log_23) \cdot \frac{1}{log_22+log_23} = -3(1+log_23) \cdot \frac{1}{1+log_23} = -3$$

Ответ: -3