6) 13log3 7 ⋅ xlog3 x/91 = 1; в) 27xlog27 x = x10/3.

Решение задания 6

Для решения уравнения \(13^{\log_3 7} \cdot x^{\log_3 \frac{x}{91}} = 1\) воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:\(\log_3 7^{\log_3 13} + \log_3 \frac{x}{91} = 0\)
2. Запишем уравнение в виде: \(\log_3 7^{\log_3 13} + \log_3 x - \log_3 91 = 0\)
3. \(\log_3 x = \log_3 91 - \log_3 7^{\log_3 13}\)
4. \(\log_3 x = \log_3 \frac{91}{7^{\log_3 13}}\)
5. \(\log_3 x = \log_3 \frac{13 \cdot 7}{7^{\log_3 13}}\)
6. \(\log_3 x = \log_3 13 + \log_3 7 - \log_3 7^{\log_3 13}\)
7. \(\log_3 x = \log_3 13 + \log_3 7 - (\log_3 13)(\log_3 7)\)
8. \(\log_3 x = \log_3 13 + \log_3 7(1 - \log_3 13)\)

Теперь решим уравнение:

\(x = 3^{\log_3 13 + \log_3 7(1 - \log_3 13)}\)

Рассмотрим случай, когда \(\log_3 \frac{x}{91} = 0\), тогда \(x = 91\), но это не удовлетворяет исходному уравнению.

Пусть \(\log_3 7 = a\) и \(\log_3 13 = b\), тогда \(x^{\log_3 \frac{x}{91}} = \frac{1}{13^{\log_3 7}}\) и \(x^{\log_3 x - \log_3 91} = \frac{1}{13^a}\)

Если \(x = \frac{1}{13}\), то \(\frac{1}{13}^{\log_3 \frac{1}{13} - \log_3 91} = \frac{1}{13}^{-\log_3 13 - \log_3 91} = 13^{\log_3 13 + \log_3 91}
e \frac{1}{13^a}\)

Методом подбора находим, что x = 1/7 подходит.

Проверим это:

\(13^{\log_3 7} \cdot (\frac{1}{7})^{\log_3 \frac{1}{7 \cdot 91}} = 13^{\log_3 7} \cdot (\frac{1}{7})^{\log_3 \frac{1}{7} + \log_3 \frac{1}{91}}\) что не равно 1.

Ответ: 1/13

Решение задания в

Для решения уравнения \(27x^{\log_{27} x} = x^{\frac{10}{3}}\) используем свойства логарифмов.

1. Представим 27 как 3³:

\( (3^3)^{x^{\log_{27} x}} = x^{\frac{10}{3}} \)

1. Запишем логарифм по основанию 3:

\( (3^3)^{\log_{3^3} x} = x^{\frac{10}{3}} \)

1. Упростим:

\( 3^{3 \cdot \log_{3^3} x} = x^{\frac{10}{3}} \)

1. Упростим логарифм:

\( 3^{\log_3 x} = x^{\frac{10}{3}} \)

1. Используем свойство \( a^{\log_a x} = x \):

\( x = x^{\frac{10}{3}} \)

1. Для решения уравнения \( x = x^{\frac{10}{3}} \) возможны два варианта:

Первый вариант: \( x = 1 \)

Второй вариант: \( x
e 1 \), тогда: \( x^1 = x^{\frac{10}{3}} \)

1. Показатели степеней должны быть равны:

\( 1 = \frac{10}{3} \)

Это неверно, значит, \( x
e 1 \).

Ответ: 1