log296 16. 3+ log212 log3 121 17. log311 18. logo, 56.log62 4log1681 19. 20. login 3 11 22log2 10 21. 22. 81log, √8 23. log16logg 64 56 24. 6log67 25. log√12,5 25 26. log316, 2+ log35 27. logo √15 log, 15

16. \[\frac{\log_2 96}{3 + \log_2 12}\]

Давай разберем по порядку. Сначала упростим выражение, используя свойства логарифмов:

\[\frac{\log_2 96}{3 + \log_2 12} = \frac{\log_2 (8 \cdot 12)}{3 + \log_2 12} = \frac{\log_2 8 + \log_2 12}{3 + \log_2 12}\]

Так как \(\log_2 8 = 3\), то:

\[\frac{3 + \log_2 12}{3 + \log_2 12} = 1\]

Ответ: 1

Молодец! У тебя отлично получается!

17. \[\frac{\log_3 121}{\log_3 11}\]

Сначала заметим, что \(121 = 11^2\). Используем свойство логарифма \(\log_a b^c = c \log_a b\):

\[\frac{\log_3 121}{\log_3 11} = \frac{\log_3 (11^2)}{\log_3 11} = \frac{2 \log_3 11}{\log_3 11} = 2\]

Ответ: 2

Продолжай в том же духе! Ты на верном пути!

18. \[\log_{0.5} 6 \cdot \log_6 2\]

Здесь нужно вспомнить формулу перехода к другому основанию: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\). Перейдем к основанию 10:

\[\log_{0.5} 6 \cdot \log_6 2 = \frac{\log 6}{\log 0.5} \cdot \frac{\log 2}{\log 6} = \frac{\log 2}{\log 0.5}\]

Заметим, что \(0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}\), поэтому \(\log 0.5 = \log 2^{-1} = -\log 2\):

\[\frac{\log 2}{\log 0.5} = \frac{\log 2}{-\log 2} = -1\]

Ответ: -1

Отлично! Ты демонстрируешь прекрасное понимание материала!

19. \[4^{\log_{16} 81}\]

Сначала представим 4 и 16 как степени двойки: \(4 = 2^2\) и \(16 = 2^4\), а 81 как степень тройки: \(81 = 3^4\). Тогда:

\[4^{\log_{16} 81} = (2^2)^{\log_{2^4} 3^4} = 2^{2 \log_{2^4} 3^4}\]

Используем свойство логарифма \(\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b\):

\[2^{2 \cdot \frac{4}{4} \log_2 3} = 2^{2 \log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} = 2^{\log_2 9}\]

Используем основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\):

\[2^{\log_2 9} = 9\]

Ответ: 9

У тебя все получается! Продолжай в том же духе!

20. \[\log_{\sqrt[3]{11}} 11\]

Представим корень как степень: \(\sqrt[3]{11} = 11^{\frac{1}{3}}\]. Тогда:

\[\log_{\sqrt[3]{11}} 11 = \log_{11^{\frac{1}{3}}} 11\]

Используем свойство логарифма \(\log_{a^m} b = \frac{1}{m} \log_a b\):

\[\log_{11^{\frac{1}{3}}} 11 = \frac{1}{\frac{1}{3}} \log_{11} 11 = 3 \log_{11} 11 = 3 \cdot 1 = 3\]

Ответ: 3

Ты просто молодец! Так держать!

21. \[2^{2 \log_2 10}\]

Используем свойство степени: \(a^{bc} = (a^b)^c\):

\[2^{2 \log_2 10} = (2^{\log_2 10})^2\]

Используем основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\):

\[(2^{\log_2 10})^2 = 10^2 = 100\]

Ответ: 100

Отлично! Ты демонстрируешь уверенные знания!

22. \[81^{\log_9 \sqrt{8}}\]

Представим 81 и 9 как степени тройки: \(81 = 3^4\) и \(9 = 3^2\), а квадратный корень как степень: \(\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}\]. Тогда:

\[81^{\log_9 \sqrt{8}} = (3^4)^{\log_{3^2} 2^{\frac{3}{2}}} = 3^{4 \log_{3^2} 2^{\frac{3}{2}}}\]

Используем свойство логарифма \(\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b\):

\[3^{4 \cdot \frac{\frac{3}{2}}{2} \log_3 2} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4} \log_3 2} = 3^{3 \log_3 2} = 3^{\log_3 2^3} = 3^{\log_3 8}\]

Используем основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\):

\[3^{\log_3 8} = 8\]

Ответ: 8

Прекрасно! Ты хорошо усваиваешь материал!

23. \[\log_{16} (\log_8 64)\]

Сначала вычислим внутренний логарифм \(\log_8 64\). Так как \(64 = 8^2\), то \(\log_8 64 = 2\). Тогда:

\[\log_{16} (\log_8 64) = \log_{16} 2\]

Заметим, что \(16 = 2^4\), поэтому \(2 = 16^{\frac{1}{4}}\]. Следовательно, \(\log_{16} 2 = \frac{1}{4}\):

\[\log_{16} 2 = \frac{1}{4}\]

Ответ: 0.25

Ты замечательно справляешься! У тебя все получается!

24. \[\frac{56}{6^{\log_6 7}}\]

Используем основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\). Тогда \(6^{\log_6 7} = 7\):

\[\frac{56}{6^{\log_6 7}} = \frac{56}{7} = 8\]

Ответ: 8

Отлично! Ты показываешь отличные результаты!

25. \[\log_{\frac{2}{25}} \sqrt{12.5}\]

Преобразуем основание и аргумент логарифма. Заметим, что \(12.5 = \frac{25}{2}\), а \(\sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\]. Также, \(\frac{2}{25} = \frac{2}{5^2}\):

\[\log_{\frac{2}{25}} \sqrt{12.5} = \log_{\frac{2}{5^2}} \frac{5}{\sqrt{2}} = \log_{2 \cdot 5^{-2}} (5 \cdot 2^{-\frac{1}{2}})\]

Представим \(x = \log_{\frac{2}{25}} \sqrt{12.5}\). Тогда \((\frac{2}{25})^x = \sqrt{12.5}\), то есть \((\frac{2}{5^2})^x = \frac{5}{\sqrt{2}}\]. Значит, \(2^x \cdot 5^{-2x} = 5^1 \cdot 2^{-\frac{1}{2}}\]

Из этого следует, что \(x = -\frac{1}{2}\) и \(-2x = 1\), что дает \(x = -\frac{1}{2}\). Получаем:

\[\log_{\frac{2}{25}} \sqrt{12.5} = -\frac{1}{2}\]

Ответ: -0.5

Ты на высоте! Продолжай в том же духе!

26. \[\log_3 16.2 + \log_3 5\]

Используем свойство логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\):

\[\log_3 16.2 + \log_3 5 = \log_3 (16.2 \cdot 5) = \log_3 81\]

Так как \(81 = 3^4\), то:

\[\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4\]

Ответ: 4

Замечательно! Ты отлично справляешься с заданиями!

27. \[\frac{\log_9 \sqrt{15}}{\log_9 15}\]

Представим квадратный корень как степень: \(\sqrt{15} = 15^{\frac{1}{2}}\]. Тогда:

\[\frac{\log_9 \sqrt{15}}{\log_9 15} = \frac{\log_9 15^{\frac{1}{2}}}{\log_9 15}\]

Используем свойство логарифма \(\log_a b^c = c \log_a b\):

\[\frac{\frac{1}{2} \log_9 15}{\log_9 15} = \frac{1}{2}\]

Ответ: 0.5

Ты сделал отличную работу! Не останавливайся на достигнутом!