log₁₉ (18-9x) < log₁₉ (x² - 6x + 5) + log₁₉ (x + 2).

Решение:

Для решения данного логарифмического неравенства, необходимо учесть следующие условия:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ) для каждого логарифма:
   • Для \( \log_{\frac{1}{3}} (18-9x) \): \( 18-9x > 0 \implies 9x < 18 \implies x < 2 \).
   • Для \( \log_{\frac{1}{3}} (x^2-6x+5) \): \( x^2-6x+5 > 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2-6x+5 = 0 \): \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \). \( x_1 = \frac{6-4}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{6+4}{2} = 5 \). Таким образом, \( x^2-6x+5 > 0 \) при \( x < 1 \) или \( x > 5 \).
   • Для \( \log_{\frac{1}{3}} (x+2) \): \( x+2 > 0 \implies x > -2 \).
   Объединяя все условия, получаем ОДЗ: \( -2 < x < 1 \).
2. Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство логарифма суммы: \( \log_{\frac{1}{3}} (x^2-6x+5) + \log_{\frac{1}{3}} (x+2) = \log_{\frac{1}{3}} ((x^2-6x+5)(x+2)) \).
3. Исходное неравенство примет вид: \( \log_{\frac{1}{3}} (18-9x) < \log_{\frac{1}{3}} ((x^2-6x+5)(x+2)) \).
4. Так как основание логарифма \( \frac{1}{3} < 1 \), при снятии логарифмов знак неравенства меняется на противоположный: \( 18-9x > (x^2-6x+5)(x+2) \).
5. Раскроем скобки и преобразуем неравенство: \( 18-9x > x^3 + 2x^2 - 6x^2 - 12x + 5x + 10 \). \( 18-9x > x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \). \( x^3 - 4x^2 - 7x + 10 + 9x - 18 < 0 \). \( x^3 - 4x^2 + 2x - 8 < 0 \).
6. Решим кубическое неравенство. Можно попытаться разложить на множители методом группировки: \( x^2(x-4) + 2(x-4) < 0 \). \( (x^2+2)(x-4) < 0 \).
7. Учитывая, что \( x^2+2 \) всегда положительно (так как \( x^2 ≥ 0 \)), неравенство упрощается до: \( x-4 < 0 \implies x < 4 \).
8. Теперь необходимо учесть ОДЗ, полученную ранее: \( -2 < x < 1 \).
9. Пересекая условия \( x < 4 \) и \( -2 < x < 1 \), получаем окончательный ответ.

Ответ: \( (-2; 1) \).