log_2^2(sin x) + log_2(sin x) / (2 cos x + sqrt(3)) = 0

Решение:

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

1. Числитель равен нулю:

\( \log_{2}^{2}(\sin x) + \log_{2}(\sin x) = 0 \)

Введём замену переменной \( y = \log_{2}(\sin x) \).

\( y^2 + y = 0 \)

\( y(y + 1) = 0 \)

Следовательно, \( y = 0 \) или \( y = -1 \).

Подставляем обратно \( \log_{2}(\sin x) \):

Случай 1: \( \log_{2}(\sin x) = 0 \)

\( \sin x = 2^0 \)

\( \sin x = 1 \)

\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)

Случай 2: \( \log_{2}(\sin x) = -1 \)

\( \sin x = 2^{-1} \)

\( \sin x = \frac{1}{2} \)

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

2. Знаменатель не равен нулю:

\( 2 \cos x + \sqrt{3} \neq 0 \)

\( 2 \cos x \neq -\sqrt{3} \)

\( \cos x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( x \neq \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} \)

3. Проверка полученных решений:

Случай 1: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)

При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \). \( 2 \cdot 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3} \neq 0 \). Решение подходит.

Случай 2: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \)

При \( x = \frac{\pi}{6} \): \( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). \( 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \neq 0 \). Решение подходит.

Случай 3: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \)

При \( x = \frac{5\pi}{6} \): \( \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). \( 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} = -\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0 \). Знаменатель равен нулю. Это решение не подходит.

4. Область определения логарифма:

\( \sin x > 0 \)

Это условие выполняется для \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) и \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \).

5. Объединяем подходящие решения:

\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: x = \(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\) и x = \(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).