log_3 18 - 1/3 log_3 72 = ?

Решение:

Для решения данного примера используем свойства логарифмов:

1. \(
   log_a b^n = n \cdot log_a b \)
2. \( log_a b - log_a c = log_a \frac{b}{c} \)
3. \( log_a a = 1 \)

Применим эти свойства к выражению:

\[ log_3 18 - \frac{1}{3} log_3 72 = log_3 18 - log_3 72^{\frac{1}{3}} \]

Преобразуем число под корнем:

\[ 72^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{72} = \sqrt[3]{8 \cdot 9} = 2 \sqrt[3]{9} \]

Подставим обратно в выражение:

\[ log_3 18 - log_3 (2 \sqrt[3]{9}) \]

Теперь используем свойство разности логарифмов:

\[ log_3 \frac{18}{2 \sqrt[3]{9}} = log_3 \frac{9}{\sqrt[3]{9}} = log_3 \frac{9}{9^{\frac{1}{3}}} \]

Используем свойство степеней \( a^m / a^n = a^{m-n} \):

\[ log_3 9^{1 - \frac{1}{3}} = log_3 9^{\frac{2}{3}} \]

Так как \( 9 = 3^2 \):

\[ log_3 (3^2)^{\frac{2}{3}} = log_3 3^{\frac{4}{3}} \]

Используем свойство \( log_a a^n = n \):

\[ \frac{4}{3} \]

Ответ: $$\frac{4}{3}$$