log_3(x+2) < 3

Решение:

Нужно решить логарифмическое неравенство \( \log_3(x+2) < 3 \).

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Выражение под логарифмом должно быть положительным: \( x+2 > 0 \) ⇒ \( x > -2 \).
2. Преобразуем неравенство: Представим число 3 в виде логарифма по основанию 3: \( 3 = \log_3(3^3) = \log_3(27) \).
3. Решим неравенство: \( \log_3(x+2) < \log_3(27) \). Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), функция \( y = \log_3(x) \) возрастающая. Поэтому знаки неравенства сохраняются: \( x+2 < 27 \) ⇒ \( x < 25 \).
4. Объединим решение с ОДЗ: У нас есть два условия: \( x > -2 \) и \( x < 25 \). Объединяя их, получаем интервал: \( -2 < x < 25 \).

Ответ: \( (-2; 25) \).