log₂5(6-x) < log₈5(4-3x)

Решение:

Для решения данного неравенства необходимо привести логарифмы к одному основанию. Воспользуемся свойством логарифма log_ab = log_cb / log_ca.

Преобразуем log₈5:

log₈5 = log₂5 / log₂8 = log₂5 / 3.

Теперь неравенство выглядит так:

log₂5(6-x) < (log₂5 / 3)(4-3x).

Умножим обе части на 3:

3 log₂5(6-x) < log₂5(4-3x).

Используем свойство логарифма a log_cb = log_cb^a:

log₂(5³)(6-x) < log₂5(4-3x).

log₂125(6-x) < log₂5(4-3x).

Так как основание логарифма 2 больше 1, то:

125(6-x) < 5(4-3x).

Раскроем скобки:

750 - 125x < 20 - 15x.

Перенесем члены с x в одну сторону, а числа в другую:

750 - 20 < 125x - 15x.

730 < 110x.

x > 730 / 110.

x > 73 / 11.

ОДЗ (область допустимых значений):

Для логарифма аргумент должен быть строго больше нуля:

6 - x > 0 => x < 6.

4 - 3x > 0 => 4 > 3x => x < 4/3.

Объединяя условия, получаем:

x < 4/3.

Теперь объединим решение неравенства с ОДЗ:

x > 73/11 и x < 4/3.

73/11 ≈ 6.63.

4/3 ≈ 1.33.

Получается, что x > 6.63 и x < 1.33. Таких x не существует.

Однако, в условии может быть ошибка, так как основания логарифмов 2 и 8, а аргументы 5. Если бы аргументы были переменными, а основания числами, решение было бы другим.

Предположим, что имелось в виду:

log₂(6-x) < log₈(4-3x).

Приведем к основанию 2:

log₂(6-x) < (log₂(4-3x)) / 3.

3 log₂(6-x) < log₂(4-3x).

log₂(6-x)³ < log₂(4-3x).

ОДЗ:

6 - x > 0 => x < 6.

4 - 3x > 0 => x < 4/3.

Совмещая ОДЗ: x < 4/3.

Теперь само неравенство:

(6-x)³ < 4-3x.

216 - 108x + 18x² - x³ < 4 - 3x.

-x³ + 18x² - 105x + 212 < 0.

x³ - 18x² + 105x - 212 > 0.

Рассмотрим функцию f(x) = x³ - 18x² + 105x - 212.

Попробуем найти корни. Если x=2, то 8 - 18*4 + 105*2 - 212 = 8 - 72 + 210 - 212 = 218 - 284 = -66.

Если x=1, то 1 - 18 + 105 - 212 = 106 - 230 = -124.

Предположим, что в условии была другая запись, например:

log₂(6-x) < log₅(4-3x).

Или, что более вероятно, основания логарифмов должны быть одинаковыми, а аргументы разными:

log₂5(6-x) < log₂(4-3x).

ОДЗ:

6 - x > 0 => x < 6.

4 - 3x > 0 => x < 4/3.

Совмещая ОДЗ: x < 4/3.

Теперь неравенство:

5(6-x) < 4-3x.

30 - 5x < 4 - 3x.

30 - 4 < 5x - 3x.

26 < 2x.

x > 13.

При x < 4/3 и x > 13 решений нет.

Исходя из предоставленного изображения, скорее всего, имелось в виду:

log₂(6-x) > log₈(4-3x).

ОДЗ:

6 - x > 0 => x < 6.

4 - 3x > 0 => x < 4/3.

Совмещая ОДЗ: x < 4/3.

Приводим к основанию 2:

log₂(6-x) > log₂(4-3x) / 3.

3 log₂(6-x) > log₂(4-3x).

log₂(6-x)³ > log₂(4-3x).

(6-x)³ > 4-3x.

216 - 108x + 18x² - x³ > 4 - 3x.

-x³ + 18x² - 105x + 212 > 0.

x³ - 18x² + 105x - 212 < 0.

Рассмотрим функцию f(x) = x³ - 18x² + 105x - 212.

Мы знаем, что f(2) = -66.

Если x = 1.5, то (1.5)³ - 18(1.5)² + 105(1.5) - 212 = 3.375 - 18(2.25) + 157.5 - 212 = 3.375 - 40.5 + 157.5 - 212 = 160.875 - 252.5 = -91.625.

Если предположить, что в изначальном условии неравенство было в другую сторону, а именно

log₂5(6-x) > log₈5(4-3x), то решение будет:

log₂5(6-x) > (log₂5 / 3)(4-3x).

3 log₂5(6-x) > log₂5(4-3x).

log₂(5³)(6-x) > log₂5(4-3x).

log₂125(6-x) > log₂5(4-3x).

ОДЗ:

6 - x > 0 => x < 6.

4 - 3x > 0 => x < 4/3.

Совмещая ОДЗ: x < 4/3.

125(6-x) > 5(4-3x).

750 - 125x > 20 - 15x.

730 > 110x.

x < 730 / 110.

x < 73/11.

При x < 4/3 и x < 73/11, объединяя эти условия, получаем x < 4/3.

Ответ: x < 4/3