log (5x - 2) > 3log62 + 2.

Решение:

Для решения неравенства \( \log(5x - 2) > 3\log_6 2 + 2 \) сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), а затем упростим правую часть.

1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть положительным: \( 5x - 2 > 0 \) \( 5x > 2 \) \( x > \frac{2}{5} \)
2. Упростим правую часть: \( 3\log_6 2 + 2 \)
3. Используем свойство логарифма \( n \log_b a = \log_b a^n \): \( \log_6 2^3 + 2 = \log_6 8 + 2 \)
4. Представим число 2 как логарифм по основанию 6: \( 2 = \log_6 6^2 = \log_6 36 \)
5. Подставим обратно: \( \log_6 8 + \log_6 36 \)
6. Используем свойство логарифма \( \log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c) \): \( \log_6 (8 \cdot 36) = \log_6 288 \)
7. Теперь неравенство выглядит так: \( \log(5x - 2) > \log_6 288 \)
8. Так как основание логарифма (подразумевается 10, т.к. не указано) больше 1, функция возрастает. Поэтому мы можем приравнять аргументы: \( 5x - 2 > 288 \)
9. Решим полученное линейное неравенство: \( 5x > 288 + 2 \) \( 5x > 290 \) \( x > \frac{290}{5} \) \( x > 58 \)
10. Сравним с ОДЗ: \( x > 58 \) и \( x > \frac{2}{5} \). Общим решением будет \( x > 58 \).

Ответ: \( x > 58 \).