log_6 8 \(\cdot\) log_4 36

Решение:

Используем свойство логарифма \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \) и \( \log_a a^n = n \).

\( \log_6 8 = \frac{\log 8}{\log 6} = \frac{\log 2^3}{\log (2 \cdot 3)} = \frac{3 \log 2}{\log 2 + \log 3} \)

\( \log_4 36 = \frac{\log 36}{\log 4} = \frac{\log 6^2}{\log 2^2} = \frac{2 \log 6}{2 \log 2} = \frac{\log 6}{\log 2} = \frac{\log (2 \cdot 3)}{\log 2} = \frac{\log 2 + \log 3}{\log 2} \)

\( \log_6 8 \cdot \log_4 36 = \frac{3 \log 2}{\log 2 + \log 3} \cdot \frac{\log 2 + \log 3}{\log 2} = 3 \)

Альтернативное решение:

\( \log_6 8 \cdot \log_4 36 = \log_6 2^3 \cdot \log_4 6^2 = 3 \log_6 2 \cdot 2 \log_4 6 = 6 \log_6 2 \cdot \log_4 6 \)

Используем формулу смены основания: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \) и \( \log_a b = \log_{a^k} b^k \).

\( 6 \log_6 2 \cdot \log_4 6 = 6 \cdot \frac{1}{\log_2 6} \cdot \log_4 6 = 6 \cdot \frac{1}{\log_2 6} \cdot \frac{\log_2 6}{\log_2 4} = 6 \cdot \frac{1}{\log_2 4} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \)

Ответ: 3